Приложение ДБ (справочное). Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области неопределенности измерения

Приложение ДБ
(справочное)

Дополнительные замечания к межгосударственным стандартам, вводящим международные руководства в области неопределенности измерения

ДБ.1 Общие замечания к серии межгосударственных стандартов ГОСТ ISO/IEC Guide 98

ДБ.1.1 Серия межгосударственных стандартов ГОСТ ISO/IEC Guide 98 вводит документы, разрабатываемые рабочей группой JCGM/WG 1 "Рабочая группа по выражению неопределенности измерения", входящей в состав объединенного комитета JCGM "Объединенный комитет по руководствам в метрологии" при Международном бюро мер и весов (см. "Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009" настоящего стандарта).

ДБ.1.2 Документы, разрабатываемые JCGM/WG 1, устанавливают общий единообразный подход к оценке точности измерений через концепцию неопределенности измерений и включают в себя как методы вычисления неопределенности измерения в разных измерительных задачах, так и учет неопределенности измерения при применении результатов измерения.

ДБ.1.3 Концепция неопределенности измерения разработана для выражения качества результата измерения взамен концепции погрешностей измерений с целью придания методической корректности используемым теоретико-вероятностным моделям.

В концепции погрешностей измерений результат измерения представляют в виде суммы истинного значения и погрешности, которая, в свою очередь, является суммой систематической и случайной составляющих. При этом для оценки точности измерения обычно используют один из двух способов: консервативный (оценка сверху) и теоретико-вероятностный. Выбор того или иного способа оценивания определяется конкретной измерительной задачей и дальнейшим использованием результата измерения. Каждый из этих подходов имеет ограничения в применении.

ДБ.1.4 При консервативном способе оценивания границы суммарной погрешности определяются арифметическим суммированием границ ее составляющих. Главный недостаток консервативного способа - слишком широкие границы суммарной погрешности, особенно в случае большого числа составляющих. Консервативный подход может найти применение в измерительных задачах, где необходимо обеспечить нахождение истинного значения измеряемой величины в установленных границах наверняка.

ДБ.1.5 При теоретико-вероятностном подходе для описания результата измерения используется случайная переменная, математическое ожидание которой совпадает с истинным значением измеряемой величины или смещено относительно него на величину систематической погрешности. Это дает возможность в условиях ограниченного числа повторных наблюдений измеряемой величины строить для нее точечные и интервальные оценки.

В теории погрешностей использована частотная интерпретация вероятности, наблюдения рассматриваются как выборка из заданной генеральной совокупности, оценки измеряемой величины и характеристик погрешности являются статистиками. В качестве интервальной оценки используется построенный на основе статистик доверительный интервал, соответствующий заданной доверительной вероятности.

Главным ограничением использования частотного подхода является невозможность его корректного распространения на задачу оценивания систематических погрешностей. Подход, основанный на "рандомизации" систематических погрешностей, применим лишь в отдельных случаях. В результате в рамках частотного подхода невозможно указать в общем виде правило построения доверительного интервала погрешности, особенно при наличии нескольких влияющих факторов, каждый из которых может описываться своей генеральной совокупностью и для которых могут быть получены свои выборки наблюдений. При отсутствии строгих математических методов метрологам часто приходилось обращаться к инженерным (эмпирическим) процедурам определения доверительных интервалов без оценки качества получаемых результатов*.

------------------------------

* Примером такой инженерной процедуры является способ оценивания доверительных границ погрешности в РМГ 43-2001 "Применение "Руководства по выражению неопределенности измерений".

ДБ.1.6 Введение в метрологическую практику концепции неопределенности измерения "Руководством по выражению неопределенности измерения (GUM)", опубликованным в 1993 г. (см. "Предисловие к международному документу ISO/IEC Guide 98.1:2009" настоящего стандарта), явилось попыткой дать математически строгий единый подход к оценке составляющих неопределенности, обусловленных как случайными, так и систематическими факторами, при заданных условиях измерительной задачи. Однако GUM не смог в полной мере решить эту задачу, он появился как внутренне противоречивый документ, использующий одновременно частотную и байесовскую концепции вероятности. Единая процедура вывода, наиболее корректно и последовательно описанная в JCGM 101:2008, основана на отказе от частотной интерпретации вероятности при оценке точности измерения в пользу субъективного представления о вероятности. Если в частотном подходе понятие случайной переменной использовано для описания результата/погрешности измерения, то в субъективном подходе случайная переменная использована для описания возможных значений измеряемой величины. При этом получение распределения вероятностей, ассоциированного с измеряемой величиной, осуществляется на основе:

- составления для данной измерительной задачи модели измерений, связывающей измеряемую величину (выходную величину) со всеми значимыми влияющими величинами (входными величинами модели);

- приписывания входным величинам распределений вероятностей (в общем случае совместных), исходя из имеющейся информации об этих величинах и их наблюдений (при наличии);

- преобразования совместного распределения входных величин в распределение выходной величины согласно правилам преобразования случайных переменных.

В отличие от теории погрешностей (на основе частотного подхода) концепция неопределенности (на основе субъективной вероятности) не имеет принципиальных ограничений в получении окончательного результата измерения в виде функции распределения, ассоциированной с измеряемой величиной, что позволяет вычислить интервал вероятности (охвата) для любой заданной вероятности. Однако во многих измерительных задачах аналитическое решение задачи преобразования плотностей вероятностей невозможно. В этом случае точное решение (в пределах точности вычислений) всегда может быть получено числовым методом Монте-Карло (см. JCGM 101:2008).

ДБ.1.7 При наличии выборки наблюдений одной или нескольких входных величин (например, показываемой величины - см. JCGM 104:2009, пункт 3.2) входное распределение для этой величины получают применением теоремы Байеса. Поэтому переход от концепции погрешностей к концепции неопределенности может рассматриваться как переход от частотного (объективного) подхода в интерпретации вероятностей к байесовскому (субъективному).

Примечание - Существует широкий круг измерительных задач, в которых получают только одно наблюдение для входной величины. Однако и в этом случае возможно формальное применение теоремы Байеса, поэтому концепцию неопределенности измерения можно связывать с байесовским подходом без потери общности.

ДБ.1.8 Важными характеристиками результатов измерений в обоих подходах являются интервальные оценки, которые, однако, имеют разное содержание. В частотном подходе это доверительный интервал, не явно предполагающий возможность проведения неограниченной серии измерений и гарантирующий накрытие истинного значения измеряемой величины в заданной доле р таких измерений. В байесовском подходе это интервал охвата, содержащий с вероятностью q значение измеряемой величины.

Примечание 1 - Часто, задавая р = q, пытаются провести количественное сопоставление получаемого доверительного интервала с интервалом охвата. Однако необходимо иметь в виду, что подобные попытки некорректны ввиду сопоставления разных величин.

Примечание 2 - Встречающееся в литературе утверждение, что оба подхода дают одинаковые интервальные оценки, несмотря на их разную интерпретацию, в общем случае неверно. Равенство оценок имеет место только в отдельных измерительных задачах, хотя к ним, например, относится часто встречающийся случай, когда можно обоснованно предположить наличие одной доминирующей влияющей величины, распределенной по нормальному закону. Для данной задачи, действительно, доверительный интервал (наименьший) совпадет с интервалом охвата (наименьшим), поскольку центральная статистика, используемая для построения доверительного интервала, подчиняется тому же t-распределению, которое после операций сдвига и масштабирования дает апостериорное распределение для измеряемой величины (при условии задания неинформативных априорных распределений для математического ожидания и дисперсии нормального распределения) в байесовском подходе.

ДБ.1.9 Разница между частотным и байесовским подходами наглядно проявляется в том, насколько в рамках данного подхода легко получить ту или иную характеристику результата измерения. Частотный подход основан на получении оптимальных точечных оценок (статистик), по которым потом можно построить (не всегда) доверительный интервал. Распределение случайной погрешности, характеризующей качество измерений, может быть получено только в отдельных, частных случаях. В байесовском подходе ситуация противоположная. В первую очередь получают распределение вероятностей случайной величины, ассоциированной с измеряемой величиной. На его основе всегда есть возможность построить интервал охвата. Точечную оценку получают из распределения вероятностей после принятия каких-либо дополнительных допущений.

Примечание - В зависимости от целей измерений точечной оценкой могут служить разные параметры полученного распределения для измеряемой величины, такие как математическое ожидание, медиана или мода.

ДБ.1.10 Достоинством байесовского подхода, а значит, и концепции неопределенности измерений является наличие формализованной процедуры учета априорной информации разного рода (в том числе о возможных или наиболее вероятных значениях измеряемой величины) при получении результата измерений.

Сопоставление концепций погрешности и неопределенности измерения проиллюстрировано на рисунке ДБ.1.

ДБ.1.11 В рамках байесовского подхода решением измерительной задачи в общем случае является распределение, ассоциированное с измеряемой величиной, которое, в общем случае, индивидуально для каждой измерительной задачи и в наиболее полном виде описывает всю собранную при решении данной задачи информацию.

В целях сокращения объема передаваемых данных и удобства их хранения в документах, разрабатываемых JCGM/WG 1, основным способом представления результата измерения принят интервал охвата (или область охвата в случае многомерной измеряемой величины). При этом, однако, следует помнить, что за областью охвата всегда стоит распределение соответствующей случайной переменной и, главное, во многих практических приложениях результатов проведенного измерения необходимо знать не интервал охвата, а распределение, из которого оно получено. Поэтому, как правило, желательно сохранять результат измерения в виде распределения вероятностей случайной переменной, ассоциированной с измеряемой величиной.

Примечание - Вопросительные знаки на схеме частотного подхода показывают, что получение оценки данной характеристики затруднено или невозможно. Если особенности измерительной задачи позволяют получить распределение погрешности, то доверительный интервал может быть рассчитан. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Рисунок ДБ.1 - Обобщенная схема получения результата измерения в рамках частотного и байесовского подходов

ДБ.2 Дополнительные замечания к настоящему стандарту

ДБ.2.1 Настоящий стандарт является введением международного документа JCGM 102:2011, который распространяет концепцию неопределенности измерений, изложенную в JCGM 100:2008 (GUM) и уточненную в JCGM 101:2008, на случай многомерных измеряемых величин. Данная задача является типичной, например, при калибровке средств измерений, относящейся к числу многоступенчатых (многоэтапных) измерений. Однако в примерах процедуры многоступенчатых измерений допущены отклонения от принципов, перечисленных в ДБ.1.6.

Д.Б.2.2 В 3.1.2 модель многоступенчатого измерения определена через совокупность подмоделей. Это несколько нарушает общность рассмотрения задачи, поскольку любое многоступенчатое измерение может быть определено через одну модель, которая объединяет все подмодели и в которой выходными величинами являются выходные величины каждой подмодели. Если ряд выходных величин являются вспомогательными (в задаче калибровки, например, это параметры калибровочной кривой), то в качестве окончательного результата измерения может быть взято маргинальное распределение, полученное интегрированием совместной плотности вероятности всех выходных величин по вспомогательным выходным величинам.

ДБ.2.3 Применение подмоделей вместо одной общей модели обусловлено прежде всего практическими соображениями. Следует иметь в виду, что при этом качество измерения может несколько ухудшиться, однако обычно этим обстоятельством можно пренебречь. Важнее то, что разбивка общей модели на подмодели, когда выходные величины одного этапа становятся входными величинами следующего, не предполагает и не требует преобразования уравнений, составляющих исходную модель. С этой точки зрения применение метода наименьших квадратов (см. пример в 3.12 и пример 3 в 6.6.6) плохо согласуется с байесовским подходом.

Примечание - Метод наименьших квадратов часто используется на практике без какого-либо дополнительного обоснования как удобная эмпирическая процедура, Теоретическое обоснование и доказательство оптимальности оценок метода наименьших квадратов базируется на частотной интерпретации вероятности.