Приложение D (справочное). Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

Приложение D
(справочное)

Непрерывная аппроксимация функции распределения выходной величины

D.1 В некоторых случаях предпочтительнее работать не с дискретным представлением G, а с непрерывной аппроксимацией () функции распределения для выходной величины Y (см. 7.5).

Примечание - Преимущества работы с непрерывной аппроксимацией состоят, например, в том, что:

a) выборка из заданного распределения может быть выполнена без необходимости округления, как в случае дискретного представления;

b) для определения наименьшего интервала охвата могут быть использованы численные методы, требующие для своей работы непрерывности функции распределения.

D.2 Чтобы сформировать (), используют дискретное представление G = {у_(r), r = 1, ..., M} для () в соответствии с 7.5.1 после замены совпадающих значений модели для у_(r) [как того требует этап b) в 7.5.1] в соответствии со следующей процедурой:

a) значениям у_(r) приписывают равномерно отстоящие друг от друга значения вероятностей р_r = (r - 1/2)/М, r = 1, ..., М [8], которые представляют собой средние точки интервалов шириной 1/М, покрывающих диапазон изменения вероятности от нуля до единицы;

b) формируют () в виде непрерывной строго возрастающей кусочно-линейной функции, последовательно соединяющей М точек [у_(r), р_r], r = 1, ..., М:

.

(D.1)

Примечание - Формула (D.1) может быть использована как основа формирования выборки из () для последующей оценки неопределенности (см. раздел С.2 в части формирования выборки на основе функции, обратной к функции распределения). Некоторые библиотеки и пакеты программ предоставляют средства такой кусочно-линейной интерполяции. Поскольку () кусочно-линейна, то такой же вид имеет и обратная функция, что позволяет использовать для ее построения те же программные средства.

D.3 На рисунке D.1 показан график (), построенный на основе 50 выборочных значений из нормального распределения для Y с плотностью распределения вероятностей (), математическим ожиданием, равным трем, и стандартным отклонением, равным единице.

X - выходная величина Y, Y - вероятность

Рисунок D.1 - Аппроксимация () функции распределения ()

D.4 Ha основе приближения (), задаваемого формулой (D.1), может быть построено приближение () = () для плотности распределения вероятностей выходной величины, представляющее собой кусочно-постоянную функцию с разрывами в точках  = y₍₁₎, ..., y_(M). Математическое ожидание и стандартное отклонение u() величины Y, описываемой плотностью распределения вероятностей (), рассматриваются соответственно как оценка Y и ее стандартная неопределенность и имеют вид:

,

(D.2)

,

(D.3)

где двойной штрих справа от символа суммирования показывает, что первый и последний члены суммы необходимо брать с коэффициентом 1/2.

Примечание - Для достаточно больших значений М (например, 10⁵ и более) и u(), полученные с использованием формул (D.2) и (D.3), в общем случае с практической точки зрения неотличимы от оценок, полученных по формулам (16) и (17) соответственно.

D.5 Если - любое значение между нулем и (1 - р), где р - требуемая вероятность охвата (например, 0,95), то границы 100р %-ного интервала охвата могут быть получены на основе () с помощью обратной линейной интерполяции. Чтобы определить нижнюю границу y_low такую, что а = (y_low), необходимо найти индекс r, для которого точки [y_(r), р_r] и [у_(r + 1), p_r + 1] будут удовлетворять условию:

.

Тогда посредством обратной линейной интерполяции получаем:

.

Аналогично, верхнюю границу y_high, для которой (р + ) = (y_high), вычисляют по формуле:

,

где индекс s такой, что точки [у_(s), р_s] и [y_(s + 1), p_s + 1] удовлетворяют условию

.

D.6 Значение  = 0,025 дает интервал охвата, ограниченный квантилями уровней 0,025 и 0,975. Этот выбор обеспечивает вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата для Y.

D.7 Наименьший интервал охвата может в общем случае быть получен на основе () путем определения , для которого Н() = (р + ) - () будет принимать минимальное значение. Прямой численный способ определения минимума - вычисление значений Н() для большой по объему выборки {} равномерно распределенных значений в интервале от нуля до (1 - р) и выбор значения из этой выборки, которому соответствует минимальное значение Н{}.

D.8 Вычисление интервала охвата становится проще, если рМ - целое число. Тогда значение , для которого Н() минимально, равно r*/М, где r* - значение индекса r, для которого длина интервала [у_(r + рМ) - у_(r)] минимальна среди всех r = 1, ..., (1 - р)/M.