Приложение F (справочное). Задача определения коэффициента рассогласования

Приложение F
(справочное)

Задача определения коэффициента рассогласования

В настоящем приложении рассматриваются некоторые детали задачи определения коэффициента рассогласования при калибровке измерителя мощности (см. 9.4). В разделе F.1 получены математическое ожидание и стандартное отклонение Y (см. 9.4.2.1.2). В разделе F.2 аналитически получена плотность распределения вероятностей для Y, когда х₁ = х₂ = 0 и r(х₁, х₂) = 0 (см. 9.4.2.1.2). В разделе F.3 способ оценивания неопределенности по GUM применен для некоррелированных и коррелированных входных величин (см. 9.4.2.1.3 и 9.4.3.1.1).

F.1 Аналитическое решение для математического ожидания и стандартного отклонения

F.1.1 Дисперсия величины X может быть выражена через математические ожидания, как [42, стр. 124]:

.

Таким образом,

,

где х - наилучшая оценка X, а u(х) - стандартная неопределенность этой оценки. Таким образом, для модели, описываемой формулой (28) [Y = 1 - Y =  + ], имеет место

.

Этот результат справедлив независимо от:

- функций распределения Х₁ и Х₂;

- наличия или отсутствия корреляции между Х₁ и Х₂.

F.1.2 Стандартная неопределенность для Y может быть получена на основе выражения

,

где для i = 1, 2 u²() = V() и u(х₁, х₂) = Cov(, ). Тогда, применяя теорему Прайса для нормальных распределений [40, 41], можно получить

.

(F.1)

Если х₂ = 0 и u(х₁) = u(х₂), то, заменяя u(х₁, х₂) на r(х₁, х₂) u²(х₁) можно получить

.

F.1.3 Если Х₁ и Х₂ некоррелированны, т.е. u(х₁, х₂) = 0, то формула (F.1) принимает вид

.

(F.2)

Формула (F.2) может быть проверена применением формулы (10) из GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.2)] и непосредственно следующей за ней формулой из GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание к 5.1.2)].

F.2 Аналитическое решение для случая нулевой оценки коэффициента отражения по напряжению при нулевой ковариации

F.2.1 Для случая х₁ = х₂ = 0, r(x₁, х₂) = 0 и u(х₁) = u(х₂) плотность распределения вероятностей g_Y() для Y может быть получена аналитически. Такое решение полезно иметь для последующего расчета неопределенности калибровки измерителя мощности. В указанном предположении выходную величину можно представить в виде

.

F.2.2 Член в квадратных скобках, который можно обозначить Z, представляет собой сумму квадратов двух независимых величин, каждая из которых подчиняется стандартному нормальному распределению. Следовательно, случайная переменная Z подчиняется распределению хи-квадрат с двумя степенями свободы [42, стр. 177], так что

,

где Z имеет плотность распределения вероятностей

.

F.2.3 Применение общей формулы для плотности распределения вероятностей функции случайной переменной [42, стр. 57-61] в случае дифференцируемой и строго возрастающей функции аргумента (в данном случае Z) с заданным распределением позволяет получить плотность распределения вероятностей для выходной величины Y в виде

.

F.2.4 Это позволяет получить выражения для математического ожидания и дисперсии для Y:

,

.

Таким образом, стандартное отклонение составляет 2u²(х₁), что согласуется с результатами, приведенными в F.1.

F.2.5 Интегрирование плотности распределения вероятностей дает функцию распределения следующего вида:

.

(F.3)

F.2.6 Если - такое в формуле (F.3), для которого () =  для любого , удовлетворяющего условию 0    1 - р, тогда

,

и 100р %-ный интервал охвата для Y (см. 7.7) имеет вид:

.

(F.4)

Длина этого интервала будет равна

.

F.2.7 Наименьший 100р %-ный интервал охвата соответствует такому , для которого Н() минимально (см. 5.3.4). Так как Н() - строго возрастающая функция для 0    1 - р, то H() достигает минимума в точке  = 0. Таким образом, наименьший 100р %-ный интервал охвата для Y имеет вид:

.

Для u(х₁) = 0,005 наименьший 95 %-ный интервал охвата представляет собой [0; 0,0001498].

F.2.8 Вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата для Y соответствует  = (1 - р/2) (см. 5.3.3) и имеет вид

.

Он на 20 % длиннее, чем наименьший 95 %-ный интервал охвата.

Примечание - Приведенный выше анализ демонстрирует аналитический вывод, применимый к некоторым задачам подобного типа. В данном частном случае результаты могли бы быть получены быстрее, если принять во внимание факт, что () - строго убывающая функция, а наименьший интервал охвата всегда включает в себя моду распределения.

F.3 Применение способа оценивания неопределенности по GUM к задаче определения коэффициента рассогласования

F.3.1 Некоррелированные входные величины

F.3.1.1 В задаче определения коэффициента рассогласования, рассмотренной в 9.4, в качестве модели измерения использована следующая:

,

где величинам X₁ и Х₂ приписаны нормальные распределения с математическими ожиданиями х₁ и х₂ и дисперсиями u²(х₁) и u²(х₂) соответственно.

F.3.1.2 Применение GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.1)] дает

в качестве оценки Y. Частные производные от функции измерения по X_i для i = 1, 2 имеют вид

.

F.3.1.3 Следовательно, в соответствии с GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.1.2)] для стандартной неопределенности u(у) справедливо выражение:

,

(F.5)

основанное на аппроксимации f(Х) рядом Тейлора первого порядка. Если нелинейность f(Х) значительна [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (примечание к 5.1.2)], то к формуле (F.5) следует добавить член

.

В результате формула (F.5) принимает вид

.

(F.6)

F.3.1.4 Поскольку Y подчиняется нормальному распределению, 95 %-ный интервал охвата для Y имеет вид

.

F.3.2 Коррелированные входные величины

F.3.2.1 Если входные величины коррелированны, то матрица неопределенностей для наилучших оценок входных величин определена формулой (27).

F.3.2.2 Применяя GUM [ISO/IEC Guide 98-3:2008 (5.2.2)], можно получить:

.

(F.7)