Приложение Е (справочное). Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений

Приложение Е
(справочное)

Интервал охвата для свертки четырех прямоугольных распределений

Е.1 В 9.2.3.2 проведено аналитическое решение в виде

,

(Е.1)

представляющее собой границы вероятностно симметричного 95 %-ного интервала охвата для выходной величины Y, определяемой через модель в виде аддитивной функции четырех входных величин, каждой из которых приписано одно и то же равномерное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице. В настоящем приложении приведено обоснование этого результата.

Е.2 Плотность равномерного распределения R(a, b) (см. 6.4.2) для случайной переменной равна постоянному значению (b - а)^-1 на отрезке a    b и нулю вне этого отрезка. Распределение суммы n независимых случайных переменных представляет собой свертку их распределений и, если все случайные переменные подчиняются распределению R(0, 1), имеет вид би-сплайна B_n() порядка n [т.е. суммы степенных функций с показателями степени до (n - 1) включительно] с узлами в точках 0, ..., n [46]. Точное выражение для B_n() [6]:

,

где , z₊ = max(z, 0).

В частности, на интервале 0    1 свертка четырех прямоугольных распределений будет иметь вид

(на интервалах между другими узлами искомое распределение также будет иметь вид кубических полиномов, но другой формы), следовательно,

,

(см. также [6]).

Е.3 Левая граница y_low вероятностно симметричного 95 %-ного интервала охвата заведомо лежит между нулем и единицей, поскольку для данной вероятности охвата площадь, лежащая под кривой плотности распределения вероятностей на интервале слева от y_low, равна 0, 025, но

.

Эту площадь можно записать в виде

,

таким образом, y_low = (3/5)^1/4.

С учетом симметрии распределения для правой границы интервала охвата получаем

.

Таким образом, вероятностно симметричный 95 %-ный интервал охвата имеет вид:

.

Распределение для каждой из входных величин с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением имеет вид R(-, ). Это означает, что интервал охвата, полученный для свертки четырех распределений R(0, 1), нужно сместить на две единицы влево и умножить его границы на 2, что и даст формулу (Е.1).