Приложение Е (рекомендуемое). Расчет пропускной способности ПК

Приложение Е
(рекомендуемое)

Расчет пропускной способности ПК

Е.1 Метод прямого интегрирования

Е.1.1 Общие положения

Метод прямого интегрирования является универсальным методом расчета пропускной способности, применимым при сбросе всех видов как однофазных, так и многофазных газожидкостных сред, а также сред, претерпевающих фазовые превращения. Метод рекомендуется применять при сбросе однофазных сред с поведением, значительно отличающимся от моделей идеальной жидкости или идеального газа, в том числе при сбросе жидкости при очень высоких давлениях (много больше критического), при сбросе жидкости или газа с термодинамическими параметрами вблизи критической точки, при сбросе газов из суперкритической области. Также данный метод рекомендуется применять при сбросе многокомпонентных газожидкостных сред с сильно отличающимися компонентами, при сбросе сред с ретроградной конденсацией.

Описанные далее другие методы расчета для различных случаев поведения сбрасываемых сред фактически вытекают из метода прямого интегрирования с учетом описывающих данные случаи уравнений состояния.

Е.1.2 Расчет пропускной способности методом прямого интегрирования

Из уравнения сохранения энергии при течении через идеальное сопло (штуцер) с учетом термодинамического соотношения и условия постоянства энтропии ds следует формула

.

(Е.1.1)

Уравнение (Е.1.1) требует только расчета плотности среды в зависимости от давления при постоянной энтропии, что позволяют многие термодинамические библиотеки, таблицы и диаграммы.

Метод прямого интегрирования заключается в расчете интеграла в уравнении (Е.1.1) численными методами, с одновременным определением характера течения и верхнего предела интегрирования. Интеграл в (Е.1.1) и величину рассчитывают как функции от Р₀, когда Р₀ убывает от Р₁ до Р₂ (либо до значения Р₀(Р₁, Р₂), указанного изготовителем). Если величина (P₀) имеет максимумы внутри данного отрезка, то первый, ближайший к Р₁ максимум, соответствует критическому давлению Р_кр и критическому режиму течения. Если же величина (P₀) монотонно возрастает на всем отрезке, то имеет место докритический режим течения.

Соответственно для критического течения

.

(Е.1.2)

Для докритического течения

.

(Е.1.3)

Для расчета интеграла в формулах (Е.1.1) - (Е.1.3) отрезок [Р₁, Р₂] следует разделить на интервалы и рассчитать с использованием квадратурных формул. При использовании формулы трапеций и разделении [P₁, Р₂] на n интервалов [Р^(-1), Р⁽ⁱ⁾], i = 1 ... n, P⁽⁰⁾ = Р₁Р⁽ⁿ⁾ = Р₂, уравнение метода прямого интегрирования имеет вид

,

(Е.1.4)

где .

Рассчитывая последовательно слагаемые, добавляя их к сумме в формуле (Е.1.4), определяя значения (P^(j)) для давлений P^(j), j = 1 ... n и проверяя, когда они начинают уменьшаться, за один проход определяют:

- характер течения (критическое или докритическое);

- критическое давление (для случая критического течения);

- массовый расход .

Учитывая, что при сбросе сред с фазовыми превращениями критическое давление часто (особенно при вскипании) находится на границе фазовой диаграммы, при расчете таких случаев методом прямого интегрирования по формуле (Е.1.4), в набор точек Р⁽ⁱ⁾ следует включать точки пересечения изоэнтропы s = s₁ с границами фазовой диаграммы.

Из уравнения (Е.1.1) следует, что при критическом режиме течения

,

(Е.1.5)

и скорость среды на выходе из штуцера достигает скорости звука

,

где n_кр - показатель изоэнтропы при давлении Р_кр.

Уравнение (Е.1.5) может не соблюдаться для случая, когда точка критического истечения совпадает с пересечением изоэнтропы с границей между областями фазовой диаграммы среды (линией вскипания или линией конденсации). В этом случае показатель изоэнтропы и скорость звука могут испытывать скачок на границе фазовой диаграммы, и имеет место неравенство

,

где и - значения показателя изоэнтропы соответственно со стороны давлений больше и меньше Р_кр.

Такой случай может иметь место, когда показатель изоэнтропы и скорость звука на границе фазовой диаграммы при изоэнтропном расширении скачком уменьшаются и происходит переход течения из дозвукового в сверхзвуковое - например, при вскипании жидкой или конденсации газообразной среды.

Уравнения (Д.1) и (Д.2) для метода прямого интегрирования записываются в виде

;

(Е.1.6)

.

(Е.1.7)

Для единиц измерения G, кг/ч, F, мм², и Р, МПа

;

(Е.1.8)

.

(Е.1.9)

Для единиц измерения G, кг/ч, F, мм², и P, бар

;

(E.1.10)

.

(E.1.11)

E.2 Аналитические методы расчета на основе уравнений состояния

Е.2.1 Расчет по уравнению несжимаемой жидкости

Течение несжимаемой жидкости всегда докритическое. Подставив уравнения состояния (Д.27) в формулы метода прямого интегрирования, получим

.

(Е.2.1)

Зависимость коэффициента K_п от отношения абсолютных давлений после и до клапана приведена на рисунке Е.1.

Рисунок Е.1 - Коэффициент K_п для несжимаемой жидкости

Е.2.2 Расчет течения сжимаемой среды по уравнениям постоянного показателя изоэнтропы и омега-метода

Подстановка уравнений состояния (Д.28) и (Д.29) (с P₁, в качестве базовой точки) в формулы метода прямого интегрирования и последующее аналитическое интегрирование дает формулы для расчета K_п, , K_п кр и K_b, приведенные в таблице Е.1.

При течение критическое, в противном случае докритическое. Расчет выполняют в соответствии с приложением Д и формулами, приведенными в таблице Е.1.

Таблица Е.1 - Формулы для расчета коэффициентов K_п, , K_п кр и K_b

Коэффициент	Метод
	Постоянный показатель изоэнтропы		Омега-метод
Kп	При n = 1	(Е.2.2)		(Е.2.10)
		(Е.2.3)
	При n = 1	(Е.2.4)	Находят из решения уравнения , решаемого численно либо с использованием формулы	(Е.2.11)
	(см. рисунок Е.2)	(Е.2.5)	(см. рисунки Е.3 и Е.4)	(Е.2.12)
Kп кр	При n = 1	(Е.2.6)	(см. рисунки Е.3 и Е.4)	(Е.2.13)
	(см. рисунок Е.2)	(Е.2.7)
Kb	При n = 1	(Е.2.8)	(см. рисунок Е.6)	(Е.2.14)
	(см. рисунок Е.5)	(Е.2.9)

Примечание - Пунктиром даны коэффициенты для уравнения постоянного показателя изоэнтропы при расчете по комбинации уравнений состояния (таблица Е.2) - в зависимости от числа Маха на входе в клапан

Рисунок Е.2 - Коэффициенты и K_п кр для уравнения постоянного показателя изоэнтропы

Примечание - Пунктиром даны значения для уравнения постоянного показателя изоэнтропы (для сравнения)

Рисунок Е.3 - Коэффициенты и K_п кр для омега-метода

Примечание - Пунктиром даны значения для уравнения постоянного показателя изоэнтропы (для сравнения)

Рисунок Е.4 - Коэффициенты и K_п кр для омега-метода

Рисунок Е.5 - Коэффициент K_b для уравнения постоянного показателя изоэнтропы

Рисунок Е.6 - Коэффициент K_b для омега-метода

Е.2.3 Расчет по комбинации уравнений состояния

Расчет массовой скорости на основе упрощенных уравнений состояния может быть использован и для случая, когда среда при изоэнтропном расширении один или несколько раз пересекает кривые кипения или конденсации. В этом случае в каждой фазовой области зависимость плотности среды от давления описывается своим уравнением состояния.

Пусть среда при сбросе с давления Р₁ до давления Р₂ пересекает кривые кипения и конденсации m раз в точках (Р^(j), , причем Р₁ > Р⁽¹⁾ > ... > Р^(m) > Р₂. Точки (Р^(j), делят отрезок [P₁, Р₂] на (m + 1) частей (интервалов), на каждом из которых зависимость (Р) описывается уравнением состояния (Д.23) или (Д.24), причем со своим значением показателя изоэнтропы или параметра омега. При использовании уравнения (Д.24) в качестве базовой точки принимают начальную точку интервала. На первом интервале можно использовать также уравнение несжимаемой жидкости (Д.22). Расчет массовой скорости выполняют последовательно по участкам по следующему алгоритму:

1) рассчитать первый интервал [Р₁, Р⁽¹⁾] согласно Е.2.1 или Е.2.2:

- если внутри данного интервала (Р_кр > Р⁽¹⁾) достигается критическое течение, то расчет закончен;

- в противном случае рассчитать массовую скорость , соответствующую давлению P⁽¹⁾, и перейти к расчету последующих интервалов;

2) при расчете интервала, начинающегося в точке (P^(j), ), уже рассчитана массовая скорость , соответствующая данной точке. Для расчета массовой скорости внутри данного интервала используют уравнения метода прямого интегрирования, но учитывающие ненулевую скорость в начале интервала

.

(Е.2.15)

Данное уравнение удобно записать в безразмерном виде, используя число Маха в точке (Р^(j), ) и коэффициент ,

,

и

,

(Е.2.16)

где ;

;

n⁽ⁱ⁾ - показатель изоэнтропы со стороны давлений меньше Р⁽ⁱ⁾.

Подставляя уравнения состояния (Д.28) или (Д.29), получим уравнения для критического отношения давлений , коэффициентов , и , приведенные в таблице Е.2. Уравнения, приведенные в Е.2.2 (таблица Е.1), представляют собой их предельный случай при М = 0.

Если М^(j)  1,0, то критическое течение имеет место при давлении Р_кр = Р^(j) и .

Если М^(j) < 1,0, то, используя уравнения таблицы Е.2, рассчитать величину .

Если Р^(j+1)/Р^(j) <  (Р₂/Р^(j) <  для последнего интервала), то критическое течение достигается внутри этого интервала при и массовую скорость рассчитывают по формуле

,

где - определяют по формулам таблицы Е.2.

Если критическое истечение не достигается внутри интервала, то следует рассчитать массовую скорость по формуле

,

где - определяют для  = Р^(j+1)/Р^(j) по формулам таблицы Е.2, и выполнить переход к той же процедуре для следующего интервала.

Таблица Е.2 - Формулы для расчета коэффициентов K_п М, , K_п крМ и K_bM

Коэффициент	Метод
	Постоянный показатель изоэнтропы		Омега-метод
Kп М		(Е.2.17)		(Е.2.25)
	При n = 1
		(Е.2.18)
		(Е.2.19)	Уравнение ,	(Е.2.26)
	При n = 1		решаемое численно либо с использованием формулы
	(см. рисунок Е.2)	(Е.2.20)		(Е.2.27)
			При М << 1 можно применять более точную формулу
			, ; - критическое отношение давлений при М = 0	(Е.2.28)
Kп крМ	(см. рисунок Е.2)	(Е.2.21)		(Е.2.29)
	При n = 1
		(Е.2.22)
KbM		(Е.2.23)		(Е.2.30)
	При n = 1
		(Е.2.24)

Если текущий интервал последний, то массовую скорость рассчитывают по формуле

,

(Е.2.30а)

где - определяют для  = P₂/P^(j) по формулам таблицы Е.2.

Наиболее важные и частые случаи расчета по сочетанию уравнений состояния приведены ниже.

Е.2.3.1 Расчет вскипающей жидкости. Сочетание моделей несжимаемой жидкости и омега-метода.

Для случая течения Ж-2Ф используют сочетание уравнений несжимаемой жидкости и омега-метода.

Если при изоэнтропном расширении среды кривая кипения пересекается при давлении Р⁽¹⁾, Р₁ > Р⁽¹⁾ > Р₂, то течение может быть описано уравнением несжимаемой жидкости на интервале [P₁, P⁽¹⁾] и уравнением омега-метода на интервале [Р⁽¹⁾, Р₂] с базовой точкой (P⁽¹⁾, ) и величиной в двухфазной области для данной базовой точки. В этом случае число Маха в точке пересечения со стороны двухфазной области

,

(E.2.31)

где  = P⁽¹⁾/P₁.

При этом условие М⁽¹⁾  1 записывают в виде

.

(E.2.32)

Если условие (Е.2.32) выполнено, то критическое течение достигается в точке (Р⁽¹⁾, ) и

;

.

(Е.2.33)

Если условие (Е.2.32) не выполняется, то имеет место критическое или докритическое течение в двухфазной области. В этом случае

,

(Е.2.34)

где  = Р/Р₁.

Критическое отношение давлений находят из уравнения

,

(Е.2.35)

которое может быть решено численными методами или с использованием приближенной формулы

.

(Е.2.36)

При М⁽¹⁾ << 1 (когда  = P⁽¹⁾/P₁, очень близко к 1) большую точность дает формула

,

,

(Е.2.37)

где соответствует критическому отношению давлений при М⁽¹⁾ = 0 и его находят из уравнения (Е.2.11) или по формуле (Е.2.12).

Для критического течения (при )

;

(Е.2.38)

.

(Е.2.39)

Графики зависимости  = f() и K_п кр = f() от для различных значений приведены соответственно на рисунках Е.7 и Е.8.

Рисунок Е.7 - Зависимость  = f() при вскипании жидкости

Рисунок Е.8 - Зависимость K_п кр = f() при вскипании жидкости

Е.2.3.2 Расчет конденсирующегося газа. Постоянный показатель изоэнтропы с разными значениями показателя для газа и двухфазной области

Для случая течения Г-2Ф используют уравнение состояния (Д.28) с разными значениями показателя изоэнтропы для газа и двухфазной области.

Если при изоэнтропном расширении среды кривая конденсации пересекается при давлении P⁽¹⁾, Р₁ > Р⁽¹⁾ > Р₂, то течение может быть описано уравнением (Д.28) с показателем изоэнтропы n₁ на интервале [Р₁, Р⁽¹⁾] (область газа) и уравнением (Д.28) с показателем изоэнтропы n₂ на интервале [P⁽¹⁾, Р₂] (двухфазная область).

Если , то критическое течение не достигается внутри газовой области. В этом случае рассчитывают число Маха в точке пересечения линии конденсации со стороны двухфазной области

.

(Е.2.40)

Если М⁽¹⁾  1, то

.

(Е.2.41)

Если условие (Е.2.41) выполнено, то критическое течение достигается в точке (Р⁽¹⁾, , и

,

.

(Е.2.42)

Если условие (Е.2.41) не выполняется, то имеет место критическое или докритическое течение в двухфазной области. В этом случае

,

(Е.2.43)

где  = Р/Р⁽¹⁾.

,

(Е.2.44)

,

(Е.2.45)

.

(Е.2.46)

Е.2.3.3 Омега-метод с двумя значениями параметра омега

Данный метод может применяться для течений 2Ф-Г, а также в ряде случаев для течений Г-2Ф и Ж-2Ф (см. таблицу Д.2).

В этом случае при изоэнтропном расширении среды кривая конденсации или кипения пересекается при давлении Р⁽¹⁾, Р₁ > Р⁽¹⁾ > Р₂, и течение может быть описано уравнением (Д.29) с параметром и базовой точкой (P₁, ) на интервале [Р₁, Р⁽¹⁾] и уравнением (Д.29) с параметром и базовой точкой (P⁽¹⁾, ) на интервале [P⁽¹⁾, Р₂].

Если , где определяют из уравнения (Е.2.11) или по формуле (Е.2.12), то критическое течение не достигается внутри интервала [P₁, Р⁽¹⁾]. Тогда рассчитывают число Маха в точке (Р⁽¹⁾, ) со стороны интервала [Р⁽¹⁾, Р₂]

.

(Е.2.47)

Условие М⁽¹⁾  1 в этом случае записывают в виде

.

(Е.2.48)

Если оно выполнено, то имеет место критическое течение в точке (Р₁, ) и

,

.

(Е.2.49)

Если условие (Е.2.48) не выполняется, то имеет место критическое или докритическое течение на интервале [Р⁽¹⁾, Р₂]. При этом

.

(E.2.50)

,

(Е.2.51)

где (, М⁽¹⁾) определяют из уравнения (Е.2.26) или по формулам (Е.2.27), (Е.2.28), и

,

(E.2.52)

.

(E.2.53)

Е.3 Расчет вспомогательных величин

Е.3.1 Расчет величин показателя изоэнтропы и параметра омега

Е.3.1.1 Расчет величин показателя изоэнтропы и параметра омега для газа и суперкритической среды

Показатель изоэнтропы n, вообще говоря, не равен показателю адиабаты k = c_p/c_v. Имеет место термодинамическое соотношение

,

(Е.3.1)

где - безразмерный коэффициент изотермической сжимаемости.

Для расчета значений n или расчета по формуле (Е.3.1) через величины k = c_p/c_v и для реального газа и суперкритической среды следует использовать термодинамические библиотеки или таблицы.

При Р_r < 0,7, Т_r < 1,5 и при Р_r > 1,0, T_r  1,5 допустимо использовать величину идеально-газового показателя адиабаты k вместо величины n.

Е.3.1.2 Расчет величин показателя изоэнтропы и параметра омега для двухфазных сред без массообмена

Если массообмен между жидкой и газовой фазами отсутствует или им можно пренебречь, параметр омега и показатель изоэнтропы рассчитывают по формуле

,

(Е.3.2)

где ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Уравнение (Е.3.2) применимо для реальных газов и жидкостей во всем диапазоне давлений, температур и значений , однако определение некоторых параметров (прежде всего n_l) требует точных термодинамических библиотек.

При и вдали от критической точки жидкой фазы (при приведенном давлении P_rl < 0,5) можно пренебречь сжимаемостью жидкости и использовать более простое уравнение

.

(Е.3.3)

В случае, когда поведение газовой фазы близко к идеальному (при приведенных температурах и давлениях газа Р_rg < 0,7, T_rg < 1,5 или Р_rg < 1,0, T_rg  1,5), можно не учитывать в уравнении (Е.3.3) множитель .

Е.3.1.3 Расчет величин показателя изоэнтропы и параметра омега для парожидкостных смесей однокомпонентных сред

Для однокомпонентных парожидкостных смесей параметр омега рассчитывают по уравнению

,

(Е.3.4)

где ;

;

;

.

Для большинства индивидуальных веществ величина меняется в пределах от 0,04 до 0,16, медленно возрастая вдоль кривой насыщения от тройной точки до критической точки. Исключение составляют водород ( от 0,16 до 0,21) и гелий ( от 0,22 до 0,26).

Остальные параметры те же, что и в 3.1.2.

Сжимаемостью жидкости , в уравнении (Е.3.3) всюду, кроме окрестности критической точки, можно пренебречь, принимая  = 0.

Уравнение (Е.3.3) может быть также записано в виде

,

,

.

(Е.3.5)

Уравнения (Е.3.5) позволяют оценить величину скачка показателя изоэнтропы на границе двухфазной области.

При Р_r < 0,5 допустимо оценивать свойства среды по модели идеального газа и несжимаемой жидкости, принимая , и применяя уравнение (Е.3.4) в виде

.

(Е.3.6)

При Р_r < 0,1 можно считать Z_g = 1,0 и .

Поэтому при высоком газосодержании (х  0,5) можно использовать упрощенное уравнение

.

(Е.3.7)

На линии кипения (при х = 0,  = 0)

.

(Е.3.8)

При Р_r < 0,5

.

(Е.3.9)

Е.3.1.4 Расчет величин показателя изоэнтропы и параметра омега двухточечным методом

Для многокомпонентных двухфазных смесей с массообменом между газовой и жидкой фазами расчет параметра омега (показателя изоэнтропы) требует проведения расчетов фазового равновесия, в том числе учета изменения составов жидкой и газовой фаз в процессе испарения или конденсации.

Однако если известны значения плотностей для двух давлений при изоэнтропном расширении, значение параметра омега или показателя изоэнтропы можно оценить из уравнений (Д.28) или (Д.29). В частности, если дополнительно к базовой точке Р^*, известна величина плотности для второй точки Р^**, , параметр омега для омега-метода определяют по формуле

.

(Е.3.10)

Рекомендуется использовать в качестве второй точки значение плотности при изоэнтропном расширении при давлении 90 % от базового: . В этом случае

.

(Е.3.11)

Аналогично при использовании уравнения (Д.28) показатель изоэнтропы двухфазной смеси может быть рассчитан по двум точкам по формуле

.

(Е.3.12)

Е.3.2 Расчет плотности среды

Е.3.2.1 Расчет плотности газа и суперкритической среды

Плотность газа при давлении Р₁ и температуре T₁ может быть рассчитана по уравнению

.

(Е.3.13)

Молярная масса М_m и коэффициент сжимаемости Z могут быть определены с использованием различных термодинамических библиотек и таблиц, а также по таблицам И.1 и И.3, а также по графику рисунка И.2.

Е.3.2.2 Расчет плотности двухфазной газожидкостной смеси

Плотность двухфазной смеси рассчитывают по уравнению

.

(Е.3.14)

Вдали от критической точки (при Р_r < 0,1) , и при больших газосодержаниях (х > 0,5) вместо (Е.3.14) можно использовать более простое уравнение

.

(Е.3.15)

Е.3.3 Определение точки пересечения изоэнтропы с границей двухфазной области

Если процесс сброса происходит с вскипанием или конденсацией, необходимо определить точки пересечения изоэнтропы с границей двухфазной области. В общем случае для этого следует использовать соответствующие термодинамические библиотеки, таблицы или фазовые диаграммы. Однако в некоторых описанных ниже случаях могут быть использованы более простые методы.

Е.3.3.1 Вскипание жидкости

Давление вскипания жидкости определяют при энтальпии s = s₁. Однако при давлениях до 10 МПа вне окрестностей критической точки (при T_r = Т₁/Т_кр < 0,9) это значение практически совпадает с давлением насыщенных паров при Т = Т₁. Соответственно для однокомпонентных сред можно использовать соответствующие кривые или таблицы давления насыщенных паров.

Е.3.3.2 Конденсация газа

Для однокомпонентных газов вне зоны критической точки (при Р_r < 0,5) для определения возможности конденсации следует сравнить значения температурных показателей изоэнтропы газа и двухфазной среды при Р₁ (см. Е.3.1.3). Если , то конденсация может иметь место и будет существенно влиять на массовую скорость при сбросе, и ее надо учитывать при расчете. В противном случае ее не будет или можно не учитывать различие коэффициентов изоэнтропы сухого и влажного газа.

Давление начала конденсации можно определить из уравнения

.

(Е.3.16)

Е.3.4 Расчет давления насыщения среды (давления насыщенного пара)

Для расчета давления насыщенного пара могут быть использованы соответствующие термодинам