Приложение С (справочное). Нелинейный метод анализа

Приложение С
(справочное)

Нелинейный метод анализа

С.1 Общие положения

В настоящем приложении приведен нелинейный метод анализа данных, полученных по результатам долговременных испытаний образцов труб и деталей трубопроводов из реактопластов, армированных стекловолокном, на жесткость, выведены следующие формулы для расчета:

- четырех параметров метода, то есть а, b, с и d;

- доверительного и прогнозируемого интервалов для кривой.

Примечание - Данные и порядок проведения метода относятся к долговременным испытаниям на жесткость, но метод также может быть применен к данным, соответствующим математической модели и требующим экстраполяции на 50 лет.

С.2 Модель

Нелинейный метод анализа можно выразить как модель, состоящую из двух взаимосвязанных линейных регрессионных моделей - линия 1 и линия 2. Порядок расчета для линии 1 применяют в расчетах для линии 2 для получения четырех параметров модели, которые используют для расчета долговременного значения исследуемого свойства.

С.2.1 Порядок расчета для линии 1

С.2.1.1 Определение параметров Y_i, x_i и y_i

Y_i вычисляют по формуле

,

(С.1)

где S_i - значение исследуемого свойства.

х_i вычисляют по формуле

,

(С.2)

где Т_i - время, ч.

y_i вычисляют по формуле

.

(С.3)

Среднеарифметическое значение х_i вычисляют по формуле

.

(С.4)

Среднеарифметическое значение y_i вычисляют по формуле

.

(С.5)

Формулы (С.1) - (С.5) относятся к отдельно измеренным значениям исследуемого свойства S_i через разные периоды времени проведения испытаний х_i.

С.2.1.2 Определение параметров а и b

Начальное значение параметра а₀ вычисляют по формуле

.

(С.6)

Начальное значение параметра b₀ вычисляют по формуле

.

(С.7)

С.2.1.3 Определение методом наименьших квадратов оценок и и несмещенной оценки

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.8)

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.9)

Несмещенную оценку вычисляют по формуле

,

(С.10)

где RSS - сумма квадратов остатков, вычисляют по формуле (С.11)

.

(С.11)

С.2.1.4 Определение оценки параметров с и d

Оценку параметра с вычисляют по формуле

.

(С.12)

Оценку параметра d вычисляют по формуле

.

(С.13)

С.2.2 Порядок расчета для линии 2

С.2.2.1 Определение параметров Х_i, Y_i, и

X_i вычисляют по формуле

.

(С.14)

Примечание - Значения и рассчитывают по формулам (С.12) и (С.13).

Y_i вычисляют по формуле

.

(С.15)

Среднеарифметическое значение Х_i вычисляют по формуле

.

(С.16)

Среднеарифметическое значение Y_i вычисляют по формуле

.

(С.17)

С.2.2.2 Определение методом наименьших квадратов оценок и и несмещенной оценки

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.18)

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.19)

Несмещенную оценку вычисляют по формуле

,

(С.20)

где RSS - сумма квадратов остатков, вычисляют по формуле

.

(С.21)

При этом должно соблюдаться неравенство

.

(С.22)

С.2.2.3 Определение доверительного и прогнозируемого интервалов

Дисперсию для вычисляют по формуле

.

(С.23)

Дисперсию для вычисляют по формуле

.

(С.24)

Оценку среднеквадратической ошибки для вычисляют по формуле

.

(С.25)

Оценку среднеквадратической ошибки для вычисляют по формуле;

.

(С.26)

Доверительный интервал при доверительной вероятности 100 % для линии 2 как функция от X вычисляют по формуле

,

(С.27)

где - вычисляют по формуле (С.31);

- вычисляют по формуле

.

(С.28)

Прогнозируемый интервал при доверительной вероятности 100 % Y_Х для линии 2 как функция от X вычисляют по формуле

,

(С.29)

где - вычисляют по формуле (С.31);

Y_границ - вычисляют по формуле

.

(С.30)

.

(С.31)

С.2.2.4 Проверка параметров а и b по t-критерию Стьюдента

Чтобы проверить, равны ли нулю или , используют формулу

,

(С.32)

где t - t-критерий Стьюдента с числом степеней свободы (n - 2).

Из статистических таблиц для Р = 90 % t = 1,771.

Из статистических таблиц для Р = 95 % t = 2,160.

Если значения t для и , рассчитанные по формулам (С.33) и (С.34) соответственно, больше значений t, указанных для Р = 90 % или Р = 95 %, то и не равны 0

,

(С.33)

.

(С.34)

С.2.2.5 Расчет долговременной (50 лет) жесткости

Формулы, приведенные в С.2.1 и С.2.2, являются стандартными формулами линейной регрессии. Значение долговременной жесткости, его доверительный и прогнозируемый интервалы рассчитывают по формулам (С.35) - (С.37).

Используя формулу (С.31), экстраполированную долговременную жесткость вычисляют по формуле

.

(С.35)

Используя формулу (С.27), доверительный интервал для экстраполированной долговременной жесткости вычисляют по формуле

.

(С.36)

Используя формулу (С.29), прогнозируемый интервал для экстраполированной долговременной жесткости Y_50 лет вычисляют по формуле

.

(С.37)

Преобразуют логарифмические значения формул (С.35) - (С.37) обратно в значения жесткости по формулам (С.38) - (С.40).

Экстраполированную долговременную жесткость S_50 лет, Н/м², вычисляют по формуле

.

(С.38)

Доверительный интервал при доверительной вероятности 90 % для экстраполированной долговременной жесткости (S)_50 лет, Н/м², вычисляют по формуле

.

(С.39)

Прогнозируемый интервал при доверительной вероятности 90 % для экстраполированной долговременной жесткости Y(S)_{50 лет}, Н/м², вычисляют по формуле

.

(С.40)

С.3 Пример расчета

В таблице С.1 приведены исходные данные для примера расчета нелинейного метода анализа.

Таблица С.1 - Исходные данные для примера расчета нелинейного метода анализа

i	Исходные данные		Производные значения
	Время, Ti, ч	Жесткость Si, Н/м2	lg(Si), Yi	lg(60Ti + 1), xi	Линейное значение Yi, yi	Линейное значение времени, Xi	lg(Ti)
0	0	-	-	0,000000	-	-	-
1	0,10	7114	3,852114	0,845098	-2,199873	0,900981089	-1,000000
2	0,27	6935	3,841046	1,235528	-1,680067	0,864045469	-0,568636
3	0,50	6824	3,834039	1,491362	-1,428181	0,835713323	-0,301030
4	1,00	6698	3,825945	1,785330	-1,178593	0,798385481	0,000000
5	3,28	6533	3,815113	2,296226	-0,888531	0,720523173	0,515874
6	7,28	6453	3,809762	2,641276	-0,757777	0,659034121	0,862131
7	20,0	6307	3,799823	3,079543	-0,529608	0,572939842	1,301030
8	45,9	6199	3,792322	3,440122	-0,366192	0,498426628	1,661813
9	72,0	6133	3,787673	3,635584	-0,267424	0,457861654	1,857332
10	166	5692	3,755265	3,998303	0,411303	0,384436030	2,220108
11	219	5508	3,740994	4,118628	0,732338	0,361035235	2,340444
12	384	5393	3,731830	4,362501	0,958300	0,315663484	2,584331
13	504	5364	3,729489	4,480596	1,019680	0,294833214	2,702431
14	3000	5200	3,716003	5,255275	1,416309	0,179974497	3,477121
15	10 520	4975	3,696793	5,800168	2,245487	0,122406128	4,022016
16	438 300	-	-	7,419923	-	0,034979805	5,641771
Примечания 1 Линейное значение Yi yi вычисляют по формуле (С.3). 2 Линейное значение времени Хi вычисляют по формуле (С.14). 3 Исходные данные в настоящей таблице аналогичны исходным данным в таблице 5. 4 Значения для i = 0 и i = 16 - расчетные, а для i от 1 до 15 включ. - измеренные или полученные из результатов измерений.

С.3.1 Порядок расчета для линии 1

С.3.1.1 Определение параметров Y_i, х_i и y_i

Значения Y_i, х_i и y_i приведены в таблице С.1.

.

(С.41)

.

(С.42)

С.3.1.2 Определение параметров а и b

.

(С.43)

.

(С.44)

С.3.1.3 Определение методом наименьших квадратов оценок и и несмещенной оценки

Используя значения из таблицы С.2, рассчитывают

.

(С.45)

.

(С.46)

Используя значения и и значения из таблицы С.2 рассчитывают

,

(С.47)

где

.

(С.48)

С.3.1.4 Определение оценки параметров с и d

Используя значения и , рассчитывают значения и

;

(С.49)

.

(С.50)

Результаты расчета для линии 1 приведены в таблице С.2.

Таблица С.2 - Результаты расчета для линии 1

i	xi	yi			xiyi	, A + Bxi	Остатки, yi -
0	0,000000	-2,855548	0,000000	8,154155	0,000000	-2,855548	0,000000
1	0,845098	-2,199873	0,714191	4,839439	-1,859108	-2,152478	-0,047395
2	1,235528	-1,680067	1,526531	2,822626	-2,075771	-1,827663	0,147596
3	1,491362	-1,428181	2,224160	2,039700	-2,129934	-1,614826	0,186645
4	1,785330	-1,178593	3,187403	1,389081	-2,104177	-1,370262	0,191669
5	2,296226	-0,888531	5,272655	0,789487	-2,040267	-0,945227	0,056696
6	2,641276	-0,757777	6,976338	0,574226	-2,001498	-0,658167	-0,099610
7	3,079543	-0,529608	9,483585	0,280485	-1,630951	-0,293555	-0,236053
8	3,440122	-0,366192	11,834437	0,134097	-1,259746	0,006425	-0,372617
9	3,635584	-0,267424	13,217473	0,071516	-0,972242	0,169038	-0,436462
10	3,998303	0,411303	15,986426	0,169170	1,644515	0,470798	-0,059495
11	4,118628	0,732338	16,963100	0,536319	3,016228	0,570901	0,161437
12	4,362501	0,958300	19,031418	0,918339	4,180586	0,773789	0,184512
13	4,480596	1,019680	20,075742	1,039746	4,568772	0,872036	0,147643
14	5,255275	1,416309	27,617914	2,005933	7,443096	1,516522	-0,100213
15	5,800168	2,245487	33,641945	5,042213	13,024202	1,969840	0,275647
16	7,419923	3,317378	55,055253	11,004998	24,614690	3,317378	0,000000
Сумма	48,465540	-2,512828	187,753317	22,652377	17,803704	37,464846	0,000000
Примечания 1 xi вычисляют по формуле (С.2). 2 yi - это линейное значение Yi. 3 Значения для i = 0 и i = 16 - расчетные, а для i от 1 до 15 включ. - измеренные или полученные из результатов измерений. Значения для i = 0 и i = 16 не включены в суммарный расчет, приведенный под строкой для i = 16.

С.3.2 Порядок расчета для линии 2

С.3.2.1 Определение параметров Х_i, Y_i, и

Значения X_i и Y_i приведены в таблице С.3.

.

(С.51)

.

(С.52)

С.3.2.2 Определение методом наименьших квадратов оценок и и несмещенной оценки

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.53)

Оценку вычисляют по формуле

.

(С.54)

Сумму квадратов остатков RSS вычисляют по формуле

.

(С.55)

Несмещенную оценку вычисляют по формуле

.

(С.56)

Проверяют соблюдения неравенства

.

(С.57)

Расчет значений (Y_i)_max = 3,852114, (Y_i)_min = 3,696793,  = 3,680275 и  = 3,680275 + 0,191318 = 3,871593 показывает, что неравенство (С.57) соблюдается.

С.3.2.3 Определение доверительного и прогнозируемого интервалов

Дисперсию для вычисляют по формуле

.

(С.58)

Дисперсию для вычисляют по формуле

.

(С.59)

Используя значение , вычисляют оценку среднеквадратической ошибки для по формуле

.

(С.60)

Используя значение , вычисляют оценку среднеквадратической ошибки для по формуле

.

(С.61)

Доверительный интервал при доверительной вероятности 90 % для линии 2 как функция от X вычисляют по формуле (С.27), а прогнозируемый интервал при доверительной вероятности 90 % Y_X для линии 2 как функция от X вычисляют по формуле (С.29). Расчетные значения нижней и верхней границ доверительного интервала при доверительной вероятности 90 % ( и соответственно) и нижней и верхней границ прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 % (Y_L и Y_U соответственно) приведены в таблице С.3. При этом экстраполированную долговременную жесткость вычисляют по формуле (С.31), a t_p = 1,771 для Р = 90 %.

С.3.2.4 Проверка параметров а и b по t-критерию Стьюдента

Чтобы проверить, равны ли нулю или , используют формулу

,

(С.62)

где t - t-критерий Стьюдента с числом степеней свободы (n - 2).

Из статистических таблиц для Р = 90 % t = 1,771.

Из статистических таблиц для Р = 95 % t = 2,160.

Если значения t для и , рассчитанные по формулам (С.63) и (С.64) соответственно, больше значений t, указанных для Р = 90 % или Р = 95 %, то и не равны 0

,

(С.63)

.

(С.64)

Согласно результатам проверки и не равны 0.

С.3.2.5 Расчет долговременной (50 лет) жесткости

Экстраполированную долговременную жесткость вычисляют по формуле

.

(С.65)

Доверительный интервал для экстраполированной долговременной жесткости вычисляют по формуле

.

(С.66)

Прогнозируемый интервал для экстраполированной долговременной жесткости Y_50 лет вычисляют по формуле

.

(С.67)

Преобразуя логарифмические значения формул (С.65) - (С.67) обратно в значения жесткости по формулам, получают:

- экстраполированная долговременная жесткость S_50 лет, Н/м², равна

;

(С.68)

- доверительный интервал при доверительной вероятности 90 % для экстраполированной долговременной жесткости (S)_50 лет, Н/м², равен

;

(С.69)

- прогнозируемый интервал при доверительной вероятности 90 % для экстраполированной долговременной жесткости Y(S)_50 лет, Н/м², равен

.

(С.70)

Результаты расчета для линии 2 приведены в таблице С.3, преобразованные логарифмические значения нелинейного метода анализа приведены в таблице С.4.

Таблица С.3 - Результаты расчета для линии 2

i	Xi	Yi			XiYi	(А + BХi)	Остатки, (Yi - )	Yграниц	YL (- Yграниц)	YU ( + Yграниц)		( - )	( + )	ошибка границы	- ошибка границы	+ ошибка границы
0	1,000000	3,871592	1,000000	14,989224	3,871592	3,871592	0,000000	0,019036	3,852556	3,890628	0,009224	3,862367	3,880816	0,016651	3,854941	3,888243
1	0,900981	3,852114	0,811767	14,838781	3,470682	3,852648	0,000534	0,018363	3,834285	3,871011	0,007742	3,844906	3,860389	0,016651	3,835997	3,869299
2	0,864045	3,841046	0,746575	14,753638	3,318839	3,845582	0,004535	0,018148	3,827434	3,863729	0,007216	3,838366	3,852797	0,016651	3,828930	3,862233
3	0,835713	3,834039	0,698417	14,699855	3,204157	3,840161	0,006122	0,017996	3,822165	3,858157	0,006826	3,833335	3,846987	0,016651	3,823510	3,856813
4	0,798385	3,825945	0,637419	14,637856	3,054579	3,833020	0,007075	0,017816	3,815204	3,850835	0,006335	3,826685	3,839354	0,016651	3,816369	3,849671
5	0,720523	3,815113	0,519154	14,555085	2,748877	3,818123	0,003011	0,017511	3,800613	3,835634	0,005418	3,812705	3,823542	0,016651	3,801472	3,834775
6	0,659034	3,809762	0,434326	14,514284	2,510763	3,806360	0,003402	0,017341	3,789019	3,823701	0,004842	3,801518	3,811201	0,016651	3,789708	3,823011
7	0,572940	3,799823	0,328260	14,438654	2,177070	3,789888	0,009934	0,017213	3,772676	3,807101	0,004361	3,785528	3,794249	0,016651	3,773237	3,806540
8	0,498427	3,792322	0,248429	14,381703	1,890194	3,775633	0,016689	0,017207	3,758426	3,792840	0,004337	3,771296	3,779970	0,016651	3,758982	3,792284
9	0,457862	3,787673	0,209637	14,346466	1,734230	3,767872	0,019801	0,017245	3,750628	3,785117	0,004484	3,763388	3,772356	0,016651	3,751221	3,784523
10	0,384436	3,755265	0,147791	14,102014	1,443659	3,753825	0,001440	0,017386	3,736439	3,771210	0,005000	3,748825	3,758824	0,016651	3,737173	3,770476
11	0,361035	3,740994	0,130346	13,995036	1,350631	3,749348	0,008354	0,017450	3,731897	3,766798	0,005220	3,744128	3,754567	0,016651	3,732696	3,765999
12	0,315663	3,731830	0,099643	13,926558	1,178003	3,740667	0,008837	0,017601	3,723066	3,758269	0,005705	3,734963	3,746372	0,016651	3,724016	3,757319
13	0,294833	3,729489	0,086927	13,909086	1,099577	3,736682	0,007193	0,017682	3,719000	3,754364	0,005949	3,730733	3,742631	0,016651	3,720031	3,753333
14	0,179974	3,716003	0,032391	13,808681	0,668786	3,714708	0,001296	0,018251	3,696457	3,732959	0,007472	3,707236	3,722180	0,016651	3,698057	3,731359
15	0,122406	3,696793	0,014983	13,666279	0,452510	3,703694	0,006901	0,018610	3,685084	3,722304	0,008311	3,695383	3,712005	0,016651	3,687043	3,720345
16	0,034980	3,686968	0,001224	13,593733	0,128969	3,686968	0,000000	0,019243	3,667725	3,706211	0,009646	3,677322	3,696614	0,016651	3,670317	3,703619
Сумма	7,966259	56,728211	5,146065	214,573977	30,302557	5,204350	0,00000	-	-	-	-	-	-	-	-	-
Примечания: 1 Линейное значение времени Хi вычисляют по формуле (С.14). 2 Yi вычисляют по формуле (С.1). 3 Yграниц вычисляют по формуле (С.30). 4 вычисляют по формуле (С.28). 5 Ошибку границы вычисляют по формуле . 6 Значения для i = 0 и i = 16 - расчетные, а для i от 1 до 15 включ. - измеренные или полученные из результатов измерений. Значения для i = 0 и i = 16 не включены в суммарный расчет, приведенный под строкой для i = 16.

Таблица С.4 - Преобразованные логарифмические значения нелинейного метода анализа

i	Ti	xi	Si ()	Shat ()	Остатки (Si - Shat)	()	Y(S)L ()	Y(S)U ()	()	(S)L ()	(S)U ()	S ошибка границы (10ошибка границы)	Shat - S ошибка границы (10 ^ ( - ошибка границы))	Shat + S ошибка границы (10 ^ ( + ошибка границы))
0	0,0	0,000000	7440	7440	0	1,044806	7121	7774	1,021467	7284	7600	1,039085	7160	7731
1	0,1	0,845098	7114	7123	-9	1,043189	6828	7430	1,017985	6997	7251	1,039085	6855	7401
2	0,3	1,235528	6935	7008	-73	1,042672	6721	7307	1,016754	6892	7125	1,039085	6744	7282
3	0,5	1,491362	6824	6921	-97	1,042308	6640	7214	1,015842	6813	7031	1,039085	6661	7191
4	1,0	1,785330	6698	6808	-110	1,041875	6534	7093	1,014693	6709	6908	1,039085	6552	7074
5	3,3	2,296226	6533	6578	-45	1,041143	6318	6849	1,012554	6497	6661	1,039085	6331	6836
6	7,3	2,641276	6453	6403	50	1,040737	6152	6663	1,011211	6332	6474	1,039085	6162	6653
7	20,0	3,079543	6307	6164	143	1,040430	5925	6414	1,010091	6103	6227	1,039085	5932	6405
8	45,9	3,440122	6199	5965	234	1,040415	5734	6206	1,010036	5906	6025	1,039085	5741	6198
9	72,0	3,635584	6133	5860	273	1,040506	5632	6097	1,010379	5799	5920	1,039085	5639	6089
10	166,0	3,998303	5692	5673	19	1,040844	5451	5905	1,011579	5608	5739	1,039085	5460	5895
11	219,0	4,118628	5508	5615	-107	1,040999	5394	5845	1,012091	5548	5683	1,039085	5404	5834
12	384,0	4,362501	5393	5504	-111	1,041361	5285	5732	1,013222	5432	5577	1,039085	5297	5719
13	504,0	4,480596	5364	5454	-90	1,041555	5236	5680	1,013793	5379	5529	1,039085	5248	5667
14	3000,0	5,255275	5200	5185	15	1,042920	4971	5407	1,017353	5096	5274	1,039085	4989	5387
15	10520,0	5,800168	4975	5055	-80	1,043783	4843	5276	1,019322	4959	5152	1,039085	4865	5252
16	438300,0	7,419923	4864	4864	0	1,045306	4653	5084	1,022458	4757	4973	1,039085	4681	5054
Примечания: 1 хi вычисляют по формуле (С.2). 2 Значения для i = 0 и i = 16 - расчетные, а для i от 1 до 15 включ. - измеренные или полученные из результатов измерений.

С.4 Описание и комментарии по данным и модели

В настоящем приложении использована процедура последовательной линеаризации. Эта процедура недостаточно оптимальна для целей настоящего стандарта. Например, при прогнозировании значения жесткости на 50 лет (экстраполированная долговременная жесткость S_50 лет) важны только параметр а и связанные с ним оценки погрешностей измерения для S и а. Четырехпараметрическая модель для процедуры линеаризации выражается формулой

,

(С.71)

где S - жесткость, Н/м²;

Т - время, ч;

i - индекс отдельного измерения.

Четырехпараметрическая модель линейна по параметрам а и b и нелинейна по параметрам c и d. Поэтому разработанный статистический анализ, предназначенный для получения всех необходимых оценок и интервалов, требует объемных алгебраических расчетов.

С.4.1 Линия 1

Линия 1 - перезапись модели, выраженной формулой (С.71), для отображения времени как функции от жесткости с добавлением компоненты случайной ошибки для полного описания стандартной линейной регрессионной модели. Модель линии 1 вычисляют преобразованием оси Y с использованием предварительных оценок для а и b по формуле

,

(С.72)

где х_i - логарифмическое значение времени, вычисляют по формуле (С.73);

e_1,i ~ N (0, ) - случайная ошибка.

.

(С.73)

Примечания

1 Случайная ошибка е_1,i указывает на нормальное распределение результатов измерений и изменение образца при постоянных условиях испытания.

2 1 мин. в формуле (С.73) добавлена для обеспечения примерного совпадения нулей по осям времени и логарифма времени.

Соответственно A и В вычисляют по формулам:

,

(С.74)

,

(С.75)

с и d вычисляют по формулам:

,

(С.76)

.

(С.77)

Для оценки параметров c и d могут быть использованы начальные значения параметров а и b, получаемые из минимального и максимального значений жесткости. Но при этом модель для линии 1 требует выполнения неравенства + > Y_i > , которое может не выполняться для начальных значений. Принимая, что модель для линии 1 хорошо соответствует данным и ошибка измерений мала, формулу (С.72) заменяют на следующую формулу

.

(С.78)

Начальные значения параметров а₀ и b₀ вычисляют по формулам (С.6) и (С.7) соответственно.

В качестве альтернативного варианта, можно получить значения параметров а, b, с и d, используя подходящее статистическое программное обеспечение, способное рассчитать точные значения этих переменных путем итераций или с использованием правильно заданного критерия наименьших квадратов. Но такое программное обеспечение не способно рассчитать стандартные погрешности или доверительные интервалы.

С.4.2 Линия 2

Линия 2 - перезапись модели, выраженной формулой (С.71), в виде простой линейной зависимости жесткости от преобразованного времени с использованием оценок линии 1 для параметров c и d. Модель линии 2 вычисляют по формуле

,

(С.79)

где X_i - преобразованное значение времени, вычисляют по формуле (С.80);

е_2,1 ~ N (0, ) - случайная ошибка.

.

(С.80)

Примечание - Случайная ошибка е_2,i указывает на нормальное распределение результатов измерений и изменение образца при постоянных условиях испытания.

С учетом оценок для параметров c и d, полученных по расчету для линии 1 или с использованием подходящего статистического программного обеспечения, модель линии 2 можно использовать для повторной оценки параметров а и b. Доверительные и прогнозируемые интервалы для линии 2 получают с использованием стандартных статистических методов для линейных моделей и путем обратного преобразования жесткости как функции времени.

С.4.3 Дополнительные данные

С.4.3.1 Расчет начальной жесткости

Используя результаты измерений жесткости за период до 10 000 ч, вычисляют начальные значения параметров а₀ и b₀ по формулам (С.6) и (С.7) соответственно. Для этих данных начальное значение параметра а₀ является также логарифмическим значением экстраполированной долговременной жесткости S_50 лет, которое можно рассчитать по формуле

.

(С.81)

Используя формулу (С.81), экстраполированную долговременную жесткость S_50 лет, Н/м², можно рассчитать по формуле

.

(С.82)

Начальное значение параметра b₀ - это изменение между логарифмическими значениями начальной жесткости S₀ и экстраполированной долговременной жесткости S_50 лет, которое можно рассчитать по формуле

.

(С.83)

Используя формулу (С.83), начальную жесткость S₀, Н/м², вычисляют по формуле

,

(С.84)

или, используя формулу

,

(С.85)

начальную жесткость S₀, Н/м², вычисляют по формуле

.

(С.86)

С.4.3.2 Аппроксимация линии 1

Аппроксимация линии 1 приведена на рисунке С.1.

Примечание - Данные для построения рисунка С.1 приведены в таблице С.2.

Ось X - значения х_i; ось Y - значения y_i; линия тренда - ( = А + Bх); - точки данных

Рисунок С.1 - Аппроксимация линии 1

С.4.3.3 Аппроксимация линии 2

Аппроксимация линии 2 и кривые зависимости жесткости от времени с наложением доверительных и прогнозируемых интервалов приведены на рисунках С.2-С.4.

Примечания

1 Данные для построения рисунка С.2 приведены в таблице С.3.

2 Данные для построения рисунков С.3 и С.4 приведены в таблице С.4.

Ось X - значения Х_i; ось Y - значения Y_i; - нижняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; - верхняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; - линия тренда для линии 2; Y_L - нижняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; Y_U - верхняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; - точки данных

Рисунок С.2 - Аппроксимация линии 2, включая доверительные и прогнозируемые интервалы

Ось X - значения х_i; ось Y - значения S_i; (S)_L - преобразованная нижняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; (S)_U - преобразованная верхняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; S_hat - линия тренда для линии 2; Y(S)_L - преобразованная нижняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; Y(S)_U - преобразованная верхняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; - точки данных

Рисунок С.3 - Зависимость жесткости от логарифма времени, включая доверительные и прогнозируемые интервалы

Ось X - значения T_i; ось Y - значения S_i; (S)_L - преобразованная нижняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; (S)_U - преобразованная верхняя граница доверительного интервала при доверительной вероятности 90 %; S_hat - линия тренда для линии 2; Y(S)_L - преобразованная нижняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; Y(S)_U - преобразованная верхняя граница прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 90 %; - точки данных

Рисунок С.4 - Зависимость жесткости от времени, включая доверительные и прогнозируемые интервалы