Приложение F (справочное). Статистическая экстраполяция нагрузок для расчета по предельным нагрузкам

Приложение F
(справочное)

Статистическая экстраполяция нагрузок для расчета по предельным нагрузкам

F.1 Основные положения

Отказ элемента конструкции возникает, когда напряжение в критическом сечении превышает несущую способность материала рассматриваемого элемента. Предполагая, что местные напряжения связаны с внешней нагрузкой таким образом, что напряжение пропорционально растет с ее увеличением, прочность элемента конструкции может быть определена через предельную нагрузку, вызывающую отказ (разрушение). Соответствие конструкции условиям прочности может быть проверено для различных случаев рабочих нагрузок на основе сравнения экстремальных величин возникающих нагрузок с предельной прочностью, используя соответствующие коэффициенты безопасности.

Для ветроустановок нагрузка зависит от турбулентности набегающего воздушного потока, которая изменяется в зависимости от параметров ветра. Таким образом, необходимо рассчитать экстремальные значения статических нагрузок для определения соответствующей расчетной номинальной нагрузки.

Для рассматриваемого состояния ветрового потока целесообразно использовать модель ответной реакции как статический случайный процесс. Учитывая это, нагрузки могут быть представлены в виде таких процессов. Методы, изложенные далее, используются для извлечения данных для экстраполяции и экстраполяции нагрузок. Также предложены критерии сходимости и приведен альтернативный вариант для оценки длительно действующих нагрузок, использующий обратный первого порядка метод надежности (IFORM).

Данные методы были проверены для 3-х лопастных ветроустановок с горизонтальной осью вращения, расположенных по набегающему воздушному потоку перед башней. Для других конструкций ВЭУ и/или схем управления, включая обратную связь по нагрузкам, может потребоваться особое внимание. Большее количество информации и руководство приведено в F.6.

F.2 Извлечение данных для выполнения экстраполяции

Данные, используемые при экстраполяции, извлекаются из временных рядов моделирования, соответствующих рабочему состоянию ВЭУ в установленном диапазоне параметров набегающего воздушного потока.

Данные могут быть извлечены на основе выбора отдельных глобальных экстремальных реакций из каждого моделирования или некоторого подмножества, созданного разделением данных моделирования в блоки, имеющие одинаковые временные интервалы, или обеспечением минимального временного разделения между экстремальными значениями.

Установление независимости между отдельными экстремальными реакциями является важным для некоторых методов экстраполяции. При извлечении данных проектировщик должен учесть эффект взаимонезависимости между пиками на экстраполяцию и минимизировать зависимость, когда это возможно. Если выбранный для экстраполяции метод чувствителен в отношении допущения о независимости (например, метод привлекает функции вероятности преобразования между базами времени), то проектировщик должен попытаться выполнить статистическую проверку на независимость.

Простой подход, гарантирующий независимость, состоит в предположении, что глобальный экстремум в каждом десятиминутном моделировании или локальные экстремумы, находящиеся в интервалах не короче чем три цикла реакций, являются независимыми. Таким образом, они требуют разделения минимальными интервалами времени между отдельными экстремальными реакциями в циклах, содержащих по три реакции (определенных тремя средними пересечениями в блоке). Если желательно применение систематического статистического подхода, то проектировщик может осуществить проверку на независимость, используя стандартные методы оценки (например, F.6. [5], [6]) и затем минимизировать зависимость контролируемым методом.

Методы пороговых пиков могут также использоваться, но проектировщик должен проявить внимательность, чтобы ошибки усечения и корреляции, введенные порогом, не повлияли существенным образом на форму эмпирического распределения.

F.3 Методы экстраполяции нагрузок

F.3.1 Основные положения

Предлагаемые методы определения нагрузки, вызванной воздействием ветрового потока, возникающим один раз в 50 лет, на основе экстраполяции экстремальных случаев нагружения ветроустановки могут быть представлены в виде следующих процедур:

а) Параметрическая подгонка с последующим объединением

Деление рабочего диапазона ветроустановки на дискретные скорости ветра и выполнение во временной области моделирования при нормальном уровне турбулентности (НМТ). Расчет экстремального значения (параметрического) распределения [2] для каждой взятой скорости ветра. Объединение всех распределений в функцию распределения средней скорости ветра на большом интервале времени. Прогнозирование величины скорости ветра, возникающей один раз в 50 лет, на основе объединенной функции распределения. Для глобального экстремума из 10-минутных моделирований вероятность 50-летней нагрузки составляет 3,8  10^-7.

b) Объединение данных с последующей подгонкой

Деление рабочего диапазона ветроустановки на дискретные скорости ветра и выполнение во временной области моделирования при нормальном уровне турбулентности (НМТ). Объединение всех соответствующих экстремальных значений из всех временных областей моделирования в функцию распределения средней скорости ветра на большом интервале времени для рабочего диапазона ветроустановки. Определение всех экстремумов для одной (объединенной) функции распределения. Прогнозирование величины скорости ветра, возникающей один раз в 50 лет, на основе полученной функции распределения. Для выбранного периода наблюдения Т, чтобы получить эмпирическую функцию распределения для этого же большого периода времени, рассматриваются два различных способа объединения экстремумов смоделированных распределений на малых временных интервалах: экстраполяция на основе глобальных и локальных экстремумов.

F.3.2 Глобальные экстремумы

Глобальные экстремумы распределения для малых временных интервалов для выбранного периода наблюдения Т, обозначены

,

(F.1)

где s - реакция, возникающая в результате воздействия нагрузки.

Из этого, на основе применения распределения для средних скоростей ветра на большом интервале времени, получаем функцию распределения экстремальных значений на большом интервале времени

.

(F.2)

Величина экстремальной реакции s_r для желаемого периода повторения Т_r может быть получена из следующего равенства

.

(F.3)

Практическое применение этих формул может быть типичным для дискретных значений скорости ветра. Тогда получаем

.

(F.4)

Распределение F_short-term получено подгонкой к эмпирическому распределению

,

(F.5)

где - i-e экстремальное значение выборки из k-й скорости ветра;

- s_ki ранг n_k экстремумов, получаемый из скорости ветра k.

Для исследования, приведенного далее, следует заметить, что эквивалентное выражение для описания эмпирического распределения на основе суммирования представлено выражением

,

(F.6)

где индикаторная функция I_(x) имеет выражение

.

(F.7)

Назначение индикаторной функции состоит в том, чтобы исключить все значения, меньшие или равные s_ki, поскольку они могут повлиять на эмпирическое распределение, имея величину менее или равную s_ki. Следует отметить, что такое определение индикаторной функции обеспечивает реализацию события, идентичного экстремальному значению в соответствии с принятым методом.

F.3.3 Локальные экстремумы

Теперь получим для выбранного интервала наблюдений Т глобальные экстремумы распределений на малых интервалах времени из величин n(V)-независимых локальных экстремальных величин в периодах времени (полагая, что экстремумы положительны, в противном случае, допускается изменить знак)

.

(F.8)

Функция распределения на большом интервале времени определена в соответствии с F.9, а величина экстремальной реакции s_r на рассматриваемом периоде повторения скорости ветра Т_r, устанавливается в соответствии с изложенным в предыдущем подпункте.

Должно быть выполнено строгое условие, что n является случайным числом, для которого распределение зависит от V.

Однако n, в случае его применения для ветроустановок, имеет ограниченное число вариаций по сравнению с его средним значением. Следовательно, замена n его средним значением, нормализованным по V, как это сделано выше, является достаточно точным. Данное допущение может быть принято, если в приведенных ниже формулах используется s - величина, представляющая скорости ветра, которые вносят наибольший вклад в величину рассматриваемой удельной реакции. Основываясь на данных допущениях, получаем следующие выражения

,

(F.9)

.

(F.10)

F.3.4 Эмпирические распределения на больших интервалах времени

Существуют некоторые преимущества при объединении данных, полученных из всех скоростей ветра, и последующего подбора функции распределения для скомбинированных данных. Одним из методов, предназначенных для этого, является вычисление для каждого бина скорости ветра ряда моделирований на основе функции распределения Вейбулла (или иной подходящей функции).

.

(F.11)

Коль скоро моделирования выполнены и извлечены максимумы, все максимальные значения, полученные из всех скоростей ветра, объединяются в отдельное распределение и ранжируются в соответствии с

,

(F.12)

где - экстремальная величина i-й выборки по всем скоростям ветра;

- s_i-й ранг среди n всех экстремумов, полученных из скомбинированного распределения.

Одним из потенциальных недостатков данного метода является то, что доминирующие нагрузки, обусловленные высокими скоростями ветра, могут иметь очень небольшое число моделирований, из которых необходимо извлечь большие экстремальные значения в хвостовой части эмпирического распределения. Обращаясь к этому вопросу, дополнительное распределение на большом временном интервале может быть вычислено с помощью дополнительных моделирований для бинов скоростей ветра, имеющих низкую вероятность. Полное время моделирования для каждого бина должно следовать естественному распределению скорости ветра. Но некоторое количество новых эмпирических распределений для больших интервалов времени может быть сформировано с помощью загруженных случайным образом данных из всех бинов, в которых имеется большое количество моделирований. После того, как будет сформировано некоторое количество распределений для больших интервалов времени, они могут быть усреднены с целью получения единственной объединенной функции распределения, которая может быть экстраполирована для получения более низкого уровня вероятности.

F.4 Критерии сходимости

F.4.1 Основные положения

В ситуации, когда ветроустановка испытывает воздействие экстремальных нагрузок, важность различных скоростей ветра изменяется в зависимости от нагрузки, которая была получена экстраполяцией. Некоторые нагрузки, обусловленные скоростями ветра, близкими к номинальной скорости ветра, преобладают, другие - преобладают в зоне отключения или для иных скоростей ветра.

Важным условием обеспечения стабильности данного метода является тщательное исследование проектировщиком преобладающих скоростей ветра с целью обеспечения выполнения достаточного количества моделирований.

Для каждой скорости ветра в интервале от (V_rated - 2 м/с) до скорости отключения необходимо иметь не менее 15 моделирований, а для каждой скорости ветра, меньшей (V_rated - 2 м/с), необходимо получить шесть моделирований.

В качестве дополнения к требуемому минимальному числу моделирований для скоростей ветра в интервале от (V_rated - 2 м/с) до скорости отключения должен быть также применен критерий сходимости в соответствии с 7.6.2. Рекомендуемое число моделирований определяется вычислением доверительного интервала для суммарной функции эмпирического распределения. Число моделирований считается достаточным, если для каждого доверительного интервала с шириной 90 % на 84 %-ном фрактиле эмпирического распределения нагрузки глобального максимума менее, чем 15 % оценки 84 %-ного фрактиля.

Этот интервал может быть оценен с помощью методов загрузки [3], методом биномиальной оценки [4], или он может быть внутренне оценен как часть используемого метода экстраполяции.

Если экстремальные значения были получены иным методом (например, методом множественных максимумов), который, в среднем, приводит к получению m экстремумов для каждого моделирования на 10-минутном интервале времени, тогда 84 %-ный фрактиль необходимо заменить на р, где

.

(F.13)

Критерий сходимости должен быть применен индивидуально к каждому распределению нагрузки на коротком интервале времени, тогда как распределение на большом интервале времени должно быть получено, используя объединение данных по скоростям ветра до подгонки, или выполнением подгонки параметрического распределения к данным, полученным из каждой скорости ветра, до объединения.

В процессе, который включает обобщение, предшествующее подгонке, эмпирические распределения для нагрузок на большом интервале времени с последующим объединением всех бинов скорости ветра могут быть установлены с использованием аналогичного критерия сходимости, который был предложен выше для распределений на коротких интервалах времени.

Для проверки сходимости на хвостовом участке эмпирического распределения, величина фрактиля, при котором налагается критерий сходимости, должна быть выше величины фрактиля, соответствующего любому конкретному "колену" (часто наблюдаемому явлению) в эмпирическом распределении на большом интервале времени.

F.4.2 Оценка фрактиля нагрузки

Желаемый фрактиль нагрузки , соответствующий условию непревышения вероятности р, оценивается следующим образом.

Упорядочиваем все значения нагрузок по возрастанию так, что S₁  S₂   ...  S_m, для m имеющихся значений результатов моделирования. Следует заметить, что m должно быть равно количеству моделирований, в случае применения глобального максимума. Для любого установленного р необходимо убедиться, что можно найти такое целое число i (где 2  i  m), что

.

(F.14)

Должно быть обеспечено наличие достаточного количества экстремумов m. Для этого следует выполнить достаточное количество моделирований так, чтобы выше приведенное неравенство имело место и число i было найдено. Затем следует выполнить оценку фрактиля нагрузки вычислением линейным интерполированием следующим образом

.

(F.15)

F.4.3 Доверительные границы

Доверительные границы оцениваются так, чтобы 90 %-ный доверительный интервал 84 %-ного фрактиля соответствовал условию

.

(F.16)

Интервал представляет желаемый 90 %-ный доверительный интервал.

F.4.4 Определение доверительных интервалов методом загрузки

При использовании для формирования доверительных интервалов процедуры загрузки, изложенной в [3] и [7], вначале берется первичный набор данных на р глобальных максимумов [m₁, m₂, m₃, m₄, m₅, ... m_р) и повторно случайным образом выполняется перевыборка с заменой для формирования нового набора (m₁, m₂, m₃, m₄, m₅, ... m_p) или загрузка перевыборки такого же размера, что и первоначальный образец. Следует заметить, что загрузка перевыборки должна быть составлена из повторяющихся величин из первоначального образца, для каждой перевыборки данные выбираются случайным образом с замещением. Процедура повторяется до тех пор, пока не сформировано большое количество N_b загруженных перевыборок. Из каждого из этих наборов данных р отдельно может быть получен 84 %-ный фрактиль.

Из этих N_b оценок составляется набор (I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, ... I_Nb), доверительные интервалы могут быть определены обычным методом упорядочением данных. Эти интервалы затем могут быть подставлены в числитель выражения (F.16). Оценка 84 %-ного фрактиля, полученного из первоначальных данных, представляет знаменатель выражения (F.16).

Для выполнения надежной оценки доверительных границ может быть достаточным выполнить не менее 25 загрузок перевыборок. Однако большее количество, близкое к 5000, приводит к более надежным оценкам.

F.4.5 Доверительные интервалы, основанные на биномиальном распределении

Определение доверительных интервалов методом биномиального распределения ([7]) в вычислительном отношении менее емко, чем вычисляемые методом загрузки. Эта экономия получается за счет табулирования параметров для вычисления биноминальных доверительных интервалов, что дает результат для большинства обычных случаев.

Таблица F.1 - Параметры, необходимые для установления доверительных интервалов методом биномиального распределения

Для 90 %-ного доверительного интервала 84-ного процентиля нагрузки
Число моделирований	k*	I*	А	B
15	9	14	0,50	0,32
16	10	15	0,27	0,19
17	11	16	0,1	0,03
18	11	16	0,87	0,96
19	12	17	0,58	0,90
20	13	18	0,35	0,83
21	14	19	0,16	0,76
22	14	20	1,00	0,69
23	15	21	0,69	0,60
24	16	22	0,45	0,50
25	17	23	0,25	0,39
26	18	24	0,08	0,26
27	18	25	0,85	0,12
28	19	25	0,58	0,98
29	20	26	0,36	0,91
30	21	27	0,18	0,83
31	22	28	0,02	0,75
32	22	29	0,75	0,66
33	23	30	0,51	0,56
34	24	31	0,31	0,44
35	25	32	0,13	0,32

Параметры таблицы F.1 используются в проектных расчетах, которые составлены с учетом обеспечения 90 %-ного доверительного интервала для 84-ного процентиля 10-минутного максимума. Проектное уравнение может быть записано следующим образом:

,

(F.17)

где , , А и В имеют значения, приведенные в таблице F.1 в зависимости от числа выполненных моделирований, а , , , получены из упорядоченных смоделированных экстремумов. Результаты данного расчета должны быть введены в уравнение (F.16) для проверки условия сходимости, где

.

(F.18)

F.5 Обратный метод по первому приближению

Альтернативой традиционным методам экстраполяции длительно действующих нагрузок является использование метода (Inverse first-order reliability method (IFORM)). В данном методе моделирование турбулентности и реакций нагрузок для условий НМТ. Для скоростей ветра в интервале (V_rated - 2 м/с) до скорости отключения должно быть выполнено не менее 15 моделирований. Затем должны быть установлены скорости (скорость) ветра, которые вызывают самые высокие нагрузки (нагрузку). Экстраполяция функций распределения на малых интервалах времени к уровню вероятности, согласованным с 50-летним периодом повторяемости нагрузки, дает нагрузку, возникающую один раз в 50 лет и в дальнейшем используется в расчетном случае ПСН 1.1.

Критерий сходимости для IFORM аналогичен применяемым в других методах экстраполяции, отличием является необходимость оценки доверительных интервалов для функций распределения нагрузки, возникающей от установленных важных скоростей ветра (часто только для единственной скорости).

Теория применения обратного метода по первому приближению (IFORM), который основан на преобразовании случайных физических переменных к стандартному нормальному распределению случайных переменных [8], хорошо описан в примере [9] и может применяться для оценки распределений нагрузок ветроустановок на больших интервалах времени для условий НМТ.

Применение метода IFORM для экстремальных нагрузок ветроустановки состоит в выполнении следующих шагов:

a) выполнить 15 моделирований для бинов скорости ветра в интервале (V_rated - 2 м/с) до скорости отключения;

b) выделить бины, дающие наиболее высокие значения максимумов;

c) улучшить результаты исследования выполнением других 15 моделирований для бинов, полученных в шаге b).

Повторно выделить доминирующие проектные значения скоростей (скорости) ветра v*, которые вызывают самое большое нагружение.

Убедиться в достаточности количества выполненных моделирований для актуальных скоростей (скорости) ветра по соблюдению условия не превышения 15 % оценки 84 %-ного фрактиля доверительным интервалом шириной 90 % на 84 %-ном фрактиле эмпирического распределения нагрузки глобальных максимумов.

d) выполнить анализ для коротких интервалов времени только для бинов (бина), установленного в шаге с). Требуемый фрактиль распределения нагрузки для этого бина выводится и зависит от значения уровня вероятности.

Используя функцию Рэлея CDF, вычисляют U₁ = Ф^-1[F_V(v*)].

Вероятность превышения в течение 10 мин один раз за 50 лет p_T = 3,8  10^-7, что соотносится с  = 4,95.

Решить уравнение U₂ = [ - ]^1/2.

Вычислить фрактиль нагрузки P_S = Ф(U₂), таблица F.2.

Длительно действующая нагрузка является фрактилем P_S распределения скорости ветра в бине v* на малом интервале времени. Для достижения подходящего фрактиля может потребоваться выполнение экстраполяции.

Таблица F.2 - Вероятность превышения кратковременными нагрузками как функция скорости ветра на высоте оси ветроколеса для различных классов ветроустановок при использовании метода IFORM

v*, м/с	1 - PS, класс I	1 - PS, класс II	1 - PS, класс III
5	5.77 Е-07	4.74 Е-07	4.16 Е-07
6	3.85 Е-07	3.72 Е-07	3.73 Е-07
7	3.87 Е-07	4.14 Е-07	4.55 Е-07
8	5.13 Е-07	5.93 Е-07	7.02 Е-07
9	8.50 Е-07	1.05 Е-06	1.33 Е-06
10	1.71 Е-06	2.25 Е-06	3.03 Е-06
11	4.14 Е-06	5.79 Е-06	8.24 Е-06
12	4.83 Е-07	4.14 Е-07	3.81 Е-07
13	3.71 Е-07	3.80 Е-07	4.07 Е-07
14	4.52 Е-07	5.22 Е-07	6.22 Е-07
15	7.66 Е-07	9.73 Е-07	1.27 Е-06
16	1.71 Е-06	2.37 Е-06	3.37 Е-06
17	4.93 Е-06	7.41 Е-06	1.14 Е-05
18	1.81 Е-05	2.95 Е-05	4.93 Е-05
19	4.32 Е-07	3.85 Е-07	3.71 Е-07
20	3.81 Е-07	4.14 Е-07	4.73 Е-07
21	5.64 Е-07	7.02 Е-07	9.10 Е-07
22	1.23 Е-06	1.71 Е-06	2.48 Е-06
23	3.72 Е-06	5.79 Е-06	9.31 Е-06
24	1.55 Е-05	2.67 Е-05	4.76 Е-05
25	8.80 Е-05	1.68 Е-04	3.34 Е-04