Приложение В (справочное). Модели турбулентности

Приложение В
(справочное)

Модели турбулентности

В настоящем приложении для определения расчетной нагрузки приведены две модели турбулентности. Предполагается, что турбулентные пульсации скорости являются стационарным полем случайных векторов, составляющие которого имеют гауссово статистическое распределение с нулевым математическим ожиданием. Рекомендуется применять первую из указанных ниже моделей:

- модель однородного сдвига Манна;

- спектральная и экспоненциальная когерентная модель Каймала.

Параметры для данных моделей были выбраны с учетом удовлетворения основным требованиям к турбулентности, приведенным в 6.3.

В.1 Модель однородного сдвига Манна (1994)

Описание этой модели несколько отличается от предыдущих моделей тем, что здесь определен трехмерный спектральный тензор скорости. Модель предполагает, что изотропный энергетический спектр Кармана быстро искажается однородным сдвигом средней скорости. Спектральные компоненты тензора представляются выражениями:

,

(В.1)

,

(В.2)

,

(В.3)

,

(В.4)

,

(В.5)

,

(В.6)

где ,

безразмерный тензор корреляции;

, , - продольная, боковая и нормальная составляющие скорости ветра соответственно;

, , - безразмерные пространственные составляющие вектора;

, , - безразмерные пространственные волновые числа для трех направлений;

- величина модуля вектора волнового числа;

- величина k до искажения при сдвиге;

, ,

,

,

- безразмерный изотропный спектр энергии Кармана;

- безразмерное время искажения, обратно пропорциональное ;

- гипергеометрическая функция;

- изотропная дисперсия и масштабный параметр при отсутствии сдвига соответственно, и

- безразмерный параметр искажения при сдвиге.

Данная модель является более сложной, чем изотропная модель Кармана, однако она содержит только один дополнительный параметр искажения при сдвиге . При  = 0, эта модель превращается в изотропную модель. При увеличении продольная и боковая дисперсии скорости возрастают, нормальная компонента дисперсии скорости уменьшается. Результирующая турбулентная вихревая структура растягивается в продольном направлении и отклоняется от плоскости 1-2.

Предполагая, что поле случайных скоростей, генерируемое моделью, переносится через ветроколесо при скорости ветра, определенной на оси ветроколеса, спектр компоненты скорости, наблюдаемый в точке, может быть получен интегрированием компонент спектрального тензора. В частности, одномерный спектр дается выражением

,

(B.7)

где - одномерный автоспектр волнового числа для i = j, или взаимной спектральности для i  j

- составляющие дисперсии.

Аналогично, для пространственных разделений, нормальных к продольному направлению функция когерентности определяется выражением:

(B.8)

К сожалению, результирующие интегралы не выражаются в аналитическом виде и должны определяться численными методами для конкретных значений параметра . Манн (1998) выполнил такое интегрирование и сравнил результаты со спектральной моделью Каймала. По наименьшим квадратам, удовлетворяющим модели Каймала, получен параметр сдвига

,

(B.9)

с результирующими соотношениями для дисперсии:

.

(B.10)

Следует отметить, что результирующая боковая дисперсия немного меньше, чем в таблице В.1.

Масштаб может быть найден по асимптотике для инерционной подобласти продольного спектра. Отсюда:

.

(В.11)

Таким образом, три параметра, необходимые для использования модели Манна, составляют:

-  = 3,9;

-  = 0,55;

- I = 0,8,

(В.12)

где и определены в 6.3.

Для трехмерных моделей турбулентности составляющие скорости определяются разложением спектрального тензора и аппроксимацией в виде преобразования Фурье. Таким образом, трехмерная пространственная область распадается на равноудаленные изолированные точки, и вектор скорости в каждой точке определяется

,

(B.13)

где ;

, , - компоненты комплексного вектора, действительные и мнимые части которых представляют независимые реализации поля турбулентных скоростей;

, , - комплексные случайные гауссовы величины, которые являются независимыми для каждого отдельного волнового числа и имеют действительную и мнимую части с дисперсией модуля;

х, у, z - координаты точек в пространственной системе координат;

, , - число точек в пространственной системе координат в трех направлениях, и

- пространственное разрешение.

В этом выражении символ - означает суммирование по всем безразмерным волновым числам, которое может быть выполнено методом Фурье (FFT).

В тех случаях, когда пространственная область в любом направлении меньше 8I, рекомендуется выполнить корректировку для разложения спектрального тензора [С(k₁, k₂, k₃)]. Эта процедура подробно изложена Манном (1998).

В.2 Спектральная и экспоненциальная когерентные модели Каймала (1972) ¹⁾

------------------------------

¹⁾_{Дисперсионные отношения для составляющих турбулентности в таблице В.1 и в выражении для восходящей составляющей скорости несколько отличаются от оригинальной спектральной модели Каймала. Продольный масштаб (а также боковой и нормальный) был выбран для аппроксимации оригинального спектра Каймала, чтобы удовлетворить требованиям к спектру, установленным в п. 6.3, для асимптотического инерциального поддиапазона и дисперсионных отношений, данных в таблице В.1.}

------------------------------

Спектральные плотности мощности составляющих даются в безразмерном виде уравнением:

,

(В.14)

где f - частота в Гц;

k - индекс, указывающий направление составляющей вектора скорости (1 - продольная, 2 - боковая, 3 - нормальная);

- одномерный спектр составляющей вектора скорости;

- среднее квадратическое отклонение составляющей вектора скорости (см. формулу (В.2));

- интегральный масштаб k-й составляющей вектора скорости;

.

(В.15)

Спектральные параметры турбулентности даны в таблице В.1.

Таблица В.1 - Спектральные параметры турбулентности для модели Каймала

	Индекс составляющей вектора скорости
	1	2	3
Среднее квадратическое отклонение составляющей вектора скорости		0,8	0,5
Интегральный масштаб вдоль направления k-ой составляющей вектора скорости Lk	8,1	2,7	0,66

Здесь и - среднее квадратическое отклонение и масштаб турбулентности, установленные в настоящем стандарте.

В.3 Экспоненциальная когерентная модель

Для вычисления структуры пространственной корреляции продольной составляющей вектора скорости может использоваться следующая экспоненциальная когерентная модель совместно с автоспектральной моделью Каймала:

,

(В.16)

где - функция когерентности, определенная совокупной величиной взаимной спектральной плотности продольных составляющих вектора скорости в двух пространственно-удаленных точках, разделенных автоспектральной функцией;

r - величина проекции вектора разделения между двумя точками на плоскость, перпендикулярную к направлению вектора средней скорости ветра;

f - частота, Гц;

- масштаб когерентности.