Приложение В (обязательное). Методика расчета спектральных характеристик многослойного стекла

Приложение В
(обязательное)

Методика расчета спектральных характеристик многослойного стекла

В.1 Введение

В настоящем приложении приведены расчеты коэффициентов пропускания и отражения с обеих сторон для систем, состоящих из одной среды между двумя поверхностями, и систем, состоящих из двух сред между тремя поверхностями, например, для многослойного стекла с покрытием, расположенным между промежуточным слоем и одним из листов стекла. Предусмотрен прямой порядок расчетов, при котором коэффициенты общего пропускания и отражения системы определяются по коэффициентам пропускания и отражения поверхностей и коэффициенту внутреннего пропускания среды, и обратный порядок расчетов, при котором коэффициенты пропускания и отражения поверхностей и коэффициент внутреннего пропускания среды определяются (или измеряются) по коэффициентам общего пропускания и отражения системы.

Следует отметить, что все характеристики зависят от длины волны. Тем не менее, приведенные далее формулы могут применяться для любой длины волны. Кроме того, в любой системе есть только три характеристики, которые могут быть измерены (коэффициент пропускания и коэффициенты отражения с обеих сторон), что ограничивает количество характеристик поверхности и среды, которые могут быть определены по одной любой группе измерений, до трех.

В настоящем приложении приведены точные формулы для расчета спектральных характеристик одного листа стекла с покрытием или без покрытия, и многослойного стекла, в котором любая или все поверхности имеют покрытие. Для иллюстрации расчетов приведены примеры. Результаты расчетов представлены числами с шестью значащими цифрами, это не означает, что расчеты имеют данный уровень точности, но позволяет провести проверку вычислений.

В.2 Терминология

В настоящем приложении система рассматривается как определенное количество поверхностей, разделяющих среды, а прямое направление как свет, падающий слева направо. Среды и поверхности нумеруются слева направо.

Поверхности характеризуются коэффициентами пропускания и отражения с обеих сторон. Для этих характеристик приняты следующие обозначения:

t_i - коэффициент пропускания i-ой поверхности (одинаковы для обоих направлений);

r_i - коэффициент отражения i-ой поверхности для луча, падающего в прямом направлении;

- коэффициент отражения i-ой поверхности для луча, падающего в обратном направлении.

Для характеристик каждой среды приняты следующие обозначения:

- коэффициент внутреннего пропускания i-ой среды (одинаковы для обоих направлений);

d_i - толщина i-ой среды.

Для коэффициентов общего пропускания и отражения системы (учитывающих многократное внутреннее отражение), определяемых по характеристикам сред и поверхностей (или измеряемых), приняты следующие обозначения:

- коэффициент общего пропускания системы;

- коэффициент общего отражения системы для луча, падающего в прямом направлении;

- коэффициент общего отражения системы для луча, падающего в обратном направлении.

В.3 Базовые формулы

В.3.1 Общие сведения

В данном разделе приведены базовые формулы, которые применяются для всего приложения.

В.3.2 Коэффициент внутреннего пропускания сред с одинаковым коэффициентом ослабления, но разной толщиной

Коэффициент внутреннего пропускания среды вычисляют по формуле

,

(В.1)

где - коэффициент ослабления среды толщиной d на длине волны .

Если две среды имеют одинаковые коэффициенты ослабления, но разную толщину, их коэффициенты внутреннего пропускания связаны между собой соотношением

,

(В.2)

где и - коэффициент внутреннего пропускания и толщина первой среды;

и - коэффициент внутреннего пропускания и толщина второй среды.

Уравнение (В.2) применяют, если требуется определить коэффициент внутреннего пропускания одного листа стекла по известному коэффициенту внутреннего пропускания другого листа стекла, имеющего такой же коэффициент ослабления, но другую толщину. Аналогично (В.2) можно применять для промежуточных слоев разной толщины.

В.3.3 Коэффициент общего внутреннего пропускания двух соседних сред с одинаковыми показателями преломления

Если две соседние среды имеют одинаковые показатели преломления, разделяющая их поверхность имеет коэффициент отражения, равный нулю, и коэффициент пропускания, равный 100 %. В этом случае коэффициент общего внутреннего пропускания двух (или более) сред вычисляют по формуле

,

(В.3)

где - коэффициент общего внутреннего пропускания двух сред;

и - коэффициенты внутреннего пропускания первой и второй среды.

Данную формулу применяют, если в многослойном стекле промежуточный слой имеет такой же показатель преломления, как и лист (листы) стекла, но другой коэффициент ослабления.

В.3.4 Коэффициенты пропускания и отражения непоглощающей поверхности

Для описания непоглощающей поверхности достаточно указать либо коэффициент пропускания, либо коэффициент поглощения, так как эти коэффициенты связаны между собой соотношениями

,

(В.4)

где , , - коэффициенты пропускания и отражения с обеих сторон i-ой поверхности.

В.4 Системы с двумя поверхностями

В.4.1 Расчет коэффициентов общего пропускания и общего отражения системы по характеристикам поверхностей и среды

На рисунке В.1 представлена система с двумя поверхностями, ограничивающими одну среду.

Рисунок В.1 - Система с двумя поверхностями, ограничивающими одну среду

Для описания системы с двумя поверхностями, ограничивающими одну среду (рисунок В.1), используют следующие характеристики:

- коэффициент общего пропускания системы, учитывающий многократное внутреннее отражение;

- коэффициент общего отражения системы, учитывающий многократное внутреннее отражение, для луча, падающего слева;

- коэффициент общего отражения системы, учитывающий многократное внутреннее отражение, для луча, падающего справа;

- коэффициент пропускания поверхности 1;

- коэффициент отражения поверхности 1 для луча, падающего слева;

- коэффициент отражения поверхности 1 для луча, падающего справа;

- коэффициент пропускания поверхности 2;

- коэффициент отражения поверхности 2 для луча, падающего слева;

- коэффициент отражения поверхности 2 для луча, падающего справа;

- коэффициент внутреннего пропускания среды 1;

- толщина среды 1.

Коэффициенты общего пропускания и общего отражения системы вычисляют по характеристикам поверхностей и среды по формулам

,

(В.5)

,

(В.6)

.

(B.7)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Исходные данные:

,

,

,

Результаты расчета коэффициентов общего пропускания и общего отражения системы:

,

,

.

В.4.2 Расчет характеристик поверхностей и среды по коэффициентам общего пропускания и общего отражения системы

В.4.2.1 Определение коэффициента внутреннего пропускания и коэффициентов отражения поверхностей листа стекла без покрытия

Теоретически для определения коэффициента внутреннего пропускания и коэффициентов отражения поверхностей листа стекла без покрытия могут быть использованы формулы (В.5), (В.6), (В.7). Так как поверхности не имеют покрытия, они являются непоглощающими, то есть можно использовать уравнение (В.4). Система является симметричной и  = .

Коэффициенты отражения поверхностей вычисляют по формуле

,

(В.8)

где - коэффициент внутреннего пропускания листа стекла;

и - коэффициенты отражения поверхностей;

и - измеренные коэффициенты общего пропускания и общего отражения листа стекла.

Коэффициент внутреннего пропускания вычисляют по формуле

.

(В.9)

Также для определения коэффициента внутреннего пропускания можно использовать формулу

.

(В.10)

Для определения коэффициентов отражения поверхностей можно использовать формулу

.

(В.11)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Если измеренные коэффициенты общего пропускания и общего отражения  = 0,895300,  = 0,074738, тогда коэффициент внутреннего пропускания  = 0,970000 и коэффициенты отражения поверхностей r₁ = r₂ = 0,040000.

На практике r₁ обычно определяют косвенным путем, определяя показатель преломления стекла и по его значению рассчитывая коэффициент отражения. При нормальном падении коэффициент отражения поверхности вычисляют по формуле

,

(В.12)

где ;

n - показатель преломления стекла;

k - коэффициент ослабления стекла.

Для натрий-кальций-силикатного стекла в солнечном диапазоне k << n, поэтому вместо формулы (В.12) применяют формулу

.

(В.13)

Затем по формуле (В.9) вычисляют коэффициент внутреннего пропускания. Рекомендуется выбирать этот способ вместо использования формулы (В.8), если нет точных данных измерений коэффициента отражения.

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Определенный показатель преломления 1,52.

Измеренный коэффициент общего пропускания 0,89.

По формулам (В.13) и (В.9) получены r₁ = 0,042580 и  = 0,969270.

Если требуется определить коэффициент внутреннего пропускания такого же стекла другой толщины, можно воспользоваться уравнением (В.2).

В.4.2.2 Определение характеристик поверхности листа стекла с покрытием, нанесенным только на одну поверхность, если известны характеристики второй поверхности

Коэффициенты пропускания и отражения поверхности с покрытием можно определить, если коэффициент внутреннего пропускания листа стекла предварительно определен по В.4.2.1 и характеристики второй поверхности (t₂, r₂ и ) предварительно определены по В.4.2.1 или данным способом. Если на поверхности 1 есть поглощающий слой, коэффициенты пропускания и отражения вычисляют по формулам

,

(В.14)

,

(B.15)

.

(B.16)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Если измеренные коэффициенты общего пропускания и общего отражения

,

и предварительно определенные значения коэффициента внутреннего пропускания среды и коэффициентов пропускания и отражения второй поверхности

,

тогда по формулам (В.14), (В.15) и (В.16) получают

.

Формулы (В.14), (В.15) и (В.16) позволяют проводить расчеты в общем случае, однако наиболее распространенным является способ определения характеристик стороны с покрытием по характеристикам противоположной стороны без покрытия (то есть можно использовать формулы (В.13) и (В.4), чтобы определить характеристики стороны без покрытия по известному показателю преломления стекла) по формулам

,

(В.17)

,

(B.18)

.

(B.19)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Определенный показатель преломления 1,52, r₂ = 0,042580.

Если

,

тогда по формулам (В.17), (В.18) и (В.19) получают

.

В.4.2.3 Определение коэффициента внутреннего пропускания промежуточного слоя между двумя листами стекла

В данном пункте рассматривается промежуточный слой, расположенный между двумя листами стекла. В этом случае поверхности раздела между промежуточным слоем и стеклом можно не учитывать, так как показатели преломления этих двух материалов равны, и следовательно, для таких поверхностей r = 0 и t = 1. Внешнюю поверхность первого листа можно рассматривать как поверхность 1, а внешнюю поверхность второго листа - как поверхность 2. Характеристики этих поверхностей и коэффициенты внутреннего пропускания обоих листов предварительно определяют по В.4.1 и В.4.2. В формулах (В.5), (В.6) и (В.7) принимают:

,

где - коэффициент внутреннего пропускания системы;

- известный коэффициент внутреннего пропускания первого листа стекла;

- неизвестный коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя;

- известный коэффициент внутреннего пропускания второго листа стекла.

Если коэффициент общего пропускания системы измерен, то коэффициент внутреннего пропускания системы можно определить по формуле

.

(B.20)

Затем определяют коэффициент внутреннего пропускания:

.

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Если измеренный коэффициент общего пропускания

,

и предварительно определенные значения коэффициентов внутреннего пропускания листов стекла и коэффициентов пропускания и отражения поверхностей

,

,

,

,

тогда по коэффициенту общего пропускания системы  = 0,856704 получают  = 0,920000.

В.5 Системы с тремя поверхностями

В.5.1 Расчет коэффициентов общего пропускания и общего отражения системы по характеристикам поверхностей и сред

Система с тремя поверхностями, ограничивающими две среды, представлена на рисунке В.2.

Рисунок В.2 - Система с тремя поверхностями, ограничивающими две среды

Для описания системы с тремя поверхностями, ограничивающими две среды, используют следующие характеристики:

- коэффициент общего пропускания системы, учитывающий многократное внутреннее отражение;

- коэффициент общего отражения системы, учитывающий многократное внутреннее отражение, для луча, падающего слева;

- коэффициент общего отражения системы, учитывающий многократное внутреннее отражение, для луча, падающего справа;

- коэффициент пропускания поверхности 1;

- коэффициент отражения поверхности 1 для луча, падающего слева;

- коэффициент отражения поверхности 1 для луча, падающего справа;

- коэффициент пропускания поверхности 2;

- коэффициент отражения поверхности 2 для луча, падающего слева;

- коэффициент отражения поверхности 2 для луча, падающего справа;

- коэффициент пропускания поверхности 3;

- коэффициент отражения поверхности 3 для луча, падающего слева;

- коэффициент отражения поверхности 3 для луча, падающего справа;

- коэффициент внутреннего пропускания среды 1;

- толщина среды 1;

- коэффициент внутреннего пропускания среды 2;

- толщина среды 2.

Коэффициенты общего пропускания и общего отражения системы вычисляют по характеристикам поверхностей и сред по формулам

,

(В.21)

,

(B.22)

.

(B.23)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Исходные данные:

,

,

,

,

.

Результаты расчета коэффициентов общего пропускания и общего отражения системы:

,

,

.

В.5.2 Расчет характеристик поверхностей и сред по коэффициентам общего пропускания и общего отражения системы

Коэффициенты пропускания и отражения поверхности раздела двух сред могут быть определены, если коэффициенты внутреннего пропускания двух сред предварительно определены по В.4.2.1 и характеристики двух внешних поверхностей также предварительно определены по В.4.2.1 или В.4.2.2. Если измерены значения , и таких систем, то характеристики внутренней поверхности могут быть определены по формулам

,

(В.24)

,

(B.25)

.

(B.26)

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета

Если измеренные коэффициенты общего пропускания и общего отражения

,

,

и предварительно определенные значения коэффициента внутреннего пропускания среды и коэффициентов пропускания и отражения первой и третьей поверхностей

,

,

,

,

тогда по формулам (В.24), (В.25) и (В.26) получают

.

В.5.3 Пример использования формул (В.24), (В.25) и (В.26): покрытие расположено между промежуточным слоем и листом стекла

Многослойная система с покрытием, расположенным между промежуточным слоем и одним из листов стекла представлена на рисунке В.3.

1 - стекло; 2 - промежуточный слой; 3 - покрытие; 4 - стекло; 5 - лист 1; 6 - слой; 7 - лист 2

Рисунок В.3 - Многослойная система с покрытием, расположенным между промежуточным слоем и одним из листов стекла

Показатель преломления промежуточного слоя примерно равен показателю преломления листа стекла. В этом случае поверхность без покрытия, разделяющая промежуточный слой и лист стекла, имеет коэффициент отражения, равный нулю, и коэффициент пропускания, равный единице, то есть для рисунка В.3 r_G1/LAM =  = 0 и t_G1/LAM = 0.

Чтобы определить коэффициенты внутреннего пропускания сред и коэффициенты пропускания и отражения всех поверхностей, используют следующий порядок:

- определяют коэффициенты внутреннего пропускания двух листов стекла и по В.4.2.1 (процедура для листа стекла без покрытия);

- определяют коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя по В.4.2.3 (процедура для промежуточного слоя между двумя листами стекла без покрытия между промежуточным слоем и одним из листов стекла);

- определяют коэффициенты пропускания и отражения внешних поверхностей (1 и 3) по В.4.2.1 (процедура для листа стекла без покрытия) или по В.4.2.2 (процедура для листа стекла с покрытием);

- для системы, представленной на рисунке В.3 (поверхность с покрытием расположена между промежуточным слоем и листом стекла 2) получают  =  и  = . По В.5.2 (формулы (В.24), (В.25), (В.26)) определяют коэффициенты пропускания и отражения внутренней поверхности с покрытием. Если поверхность с покрытием расположена между промежуточным слоем и листом стекла 1, получают  =  и  =  и используют ту же процедуру расчета.

Пример, иллюстрирующий процедуру расчета (для системы, представленной на рисунке В.3)

Если измеренные коэффициенты общего пропускания и общего отражения

,

,

и предварительно определенные коэффициенты внутреннего пропускания листов стекла и промежуточного слоя

,

,

,

соответственно

,

,

и предварительно определенные коэффициенты пропускания и отражения внешних поверхностей

,

,

тогда коэффициенты пропускания и отражения внутренней поверхности с покрытием

.

В.6 Примеры

В.6.1 Общие сведения

В данном разделе представлены два примера, которые демонстрируют правила применения приведенных выше формул. В примере 1 (см. В.6.2) рассматривается одна среда между двумя поверхностями. В примере 2 (см. В.6.3) рассматривается промежуточный слой между двумя разными листами стекла, где все поверхности без покрытия. Этот пример иллюстрирует процедуру по В.4 и использование уравнения (В.2), когда необходимо определить коэффициент внутреннего пропускания для стекла, имеющего другую толщину, чем толщина измеренного образца стекла.

Другой пример иллюстрирует случай, когда требуется определить коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя, имеющего другую толщину, чем толщина промежуточного слоя измеренного образца. В этом случае также применяется уравнение (В.2) и расчеты аналогичны расчетам, приводимым для листов стекла разной толщины. Второй пример рассматривает две среды, ограниченные тремя поверхностями на примере промежуточного слоя между двумя листами стекла, где одна поверхность с покрытием расположена между промежуточным слоем и одним из листов стекла. Этот пример иллюстрирует процедуру, описанную в В.4, и дает конкретные расчеты таких образцов.

В.6.2 Пример 1: простое многослойное стекло без покрытия

Рассмотрим способ определения общих характеристик (, , ) образца многослойного стекла (обозначенного как образец А), состоящего из промежуточного слоя толщиной 0,76 мм, расположенного между листом бесцветного флоат-стекла толщиной 3,8 мм и листом окрашенного в массе флоат-стекла толщиной 3,8 мм, поверхности листов стекла не имеют покрытия. Предположим, что такого образца не существует, но необходимо определить его общие характеристики. На рисунке В.4 представлен данный образец и указаны характеристики, которые необходимы для определения общих характеристик образца.

1 - лист бесцветного стекла (3,8 мм); 2 - промежуточный слой (0,76 мм); 3 - лист окрашенного в массе стекла (3,8 мм); 4 - воздух

Рисунок В.4 - Несуществующий образец А, характеристики которого должны быть определены

На рисунке использованы следующие обозначения:

, , - коэффициент внутреннего пропускания и коэффициенты отражения обозначенной поверхности;

- коэффициент внутреннего пропускания бесцветного стекла;

- коэффициент внутреннего пропускания окрашенного в массе стекла;

- коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя.

Некоторые характеристики могут быть исключены, если учесть следующие свойства поверхностей:

1 Поверхности, разделяющие воздух и стекло, не имеют покрытия. В этом случае, согласно уравнению (В.4):

,

.

2 Показатели преломления обоих листов стекла и промежуточного слоя одинаковы. Следовательно, некоторые поверхности можно не учитывать, а именно:

,

.

Если не учитывать поверхности 3 и 4, образец можно рассматривать как систему с двумя поверхностями, ограничивающими одну среду (см. рисунок В.1). По формуле (В.3) можно определить коэффициент общего внутреннего пропускания:

,

где - коэффициент общего внутреннего пропускания образца А.

После определения неизвестных характеристик (r₁, r₂, , и ), по формулам (В.5), (В.6), (В.7) можно рассчитать общие световые характеристики системы с двумя поверхностями, ограничивающими одну среду.

Несмотря на то, что образец А не существует, имеются образцы 1, 2 и 3, представленные на рисунке В.5.

1 - лист бесцветного стекла (3,8 мм); 2 - лист окрашенного в массе стекла (6,0 мм); 3 - промежуточный слой (0,76 мм); 4 - воздух

Рисунок В.5 - Структура образцов 1, 2 и 3

В таблице В.1 приведены измеренные значения коэффициентов общего пропускания и общего отражения этих образцов, неизвестные характеристики, которые требуется определить, и соответствующие формулы, которые следует использовать для расчета. Так как все образцы не имеют покрытий и являются симметричными, коэффициенты отражения приведены только для одной стороны.

Таблица В.1 - Описание образцов 1, 2 и 3

[41] Образец	[42] Неизвестные характеристики	[43] Уравнения	[44] Измеренные значения
			[45] коэффициента пропускания ()	[46] коэффициента отражения [47] ()
[48] 1	[49] , r1	[50] (В.8) и (В.9)	[51] 0,895300	[52] 0,074738
[53] 2	[54] , r2	[55](В.8), (В.9) и (В.2)	[56] 0,719548	[57] 0,062450
[58] 3	[59]	[60] (В.20)	[61] 0,824831	[62] Не требуется

Подставляя измеренные значения в соответствующие формулы, определяют неизвестные характеристики, как указано ниже.

Образец 1

По формулам (В.8) и (В.9) определяют:

.

Образец 2

По формулам (В.8) и (В.9) определяют:

.

По уравнению (В.2) определяют коэффициент внутреннего пропускания окрашенного в массе стекла толщиной 3,8 мм по коэффициенту внутреннего пропускания окрашенного в массе стекла толщиной 6 мм:

.

Образец 3

Коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя определяют по В.4.2.3. Коэффициенты отражения и пропускания внешних поверхностей и коэффициент внутреннего пропускания бесцветного стекла были определены для образца 1. Поэтому коэффициент внутреннего пропускания образца 3 определяют по формуле (В.20):

.

Учитывая, что  = , определяют коэффициент внутреннего пропускания промежуточного слоя:

.

Таким образом, определены все неизвестные характеристики, необходимые для расчета общих световых характеристик первоначального несуществующего образца A, а именно:

,

,

,

,

.

Далее определяют коэффициент общего внутреннего пропускания несуществующего образца A:

.

Подставляют полученные значения в формулы (В.5), (В.6), (В.7):

,

,

.

Здесь соответствует из формул (В.5), (В.6), (В.7).

Таким образом, для первоначального несуществующего образца А:

,

.

В.6.3 Пример 2: многослойное стекло с поглощающим покрытием между промежуточным слоем и вторым листом стекла, внешние поверхности без покрытия

В данном примере рассматривается система, описанная в примере 1, в которую добавлено поглощающее покрытие между промежуточным слоем и листом окрашенного в массе стекла, а именно: лист бесцветного флоат-стекла толщиной 3,8 мм, промежуточный слой толщиной 0,76 мм, поглощающее покрытие, лист окрашенного в массе стекла толщиной 3,8 мм. Вновь предположим, что такого образца не существует, но необходимо определить его общие световые характеристики. Обозначим этот образец как образец В (см. рисунок В.6). Отметим, что все характеристики были ранее определены с использованием образцов 1, 2 и 3, за исключением t₂, r₂ и .

1 - поверхность с покрытием; 2 - лист бесцветного стекла (3,8 мм); 3 - лист окрашенного в массе стекла (3,8 мм); 4 - промежуточный слой (0,76 мм); 5 - воздух

Рисунок В.6 - Несуществующий образец В, характеристики которого должны быть определены

Чтобы определить t₂, r₂ и , рассмотрим имеющийся образец 4 с таким же поглощающим покрытием (поверхность 3), что и у образца В. Данный образец представлен на рисунке В.7.

1 - лист бесцветного стекла (3,8 мм); 2 - промежуточный слой (0,76 мм); 3 - воздух

Рисунок В.7 - Описание образца 4

Как и для образца А, поверхность, разделяющую промежуточный слой и первый лист стекла, можно не учитывать и рассматривать образец В и образец 4 как систему из двух сред, ограниченных тремя поверхностями (см. В.5 и В.5.3).

В таблице В.2 приведены измеренные значения коэффициентов общего пропускания и общего отражения образца 4, неизвестные характеристики, которые требуется определить, и соответствующие формулы, которые следует использовать для расчета.

Таблица В.2 - Описание образца 4

[73] Образец	[74] Неизвестные характеристики	[75] Уравнения	[76] Измеренные значения
			[77] коэффициента пропускания ()	[78] коэффициента отражения в прямом направлении [79] ()	[80] коэффициента отражения в обратном направлении [81] ()
[82] 4	[83] t2, r2 и	[84] (В.24), (В.25) и (В.26)	[85] 0,649055	[86] 0,168273	[87] 0,162711

По формулам (В.24), (В.25), (В.26) определяют:

,

,

.

Характеристики и заменены на  х  и соответственно. Кроме того, внешняя поверхность 3 образца 4 эквивалентна внешней поверхности 2 образца А.

Таким образом, определены следующие характеристики:

,

,

,

,

,

.

Общие характеристики образца В определяют по формулам (В.21), (В.22), (В.23). С учетом того, что и заменены на  x  и , в итоге получают:

,

,

.