Приложение А (рекомендуемое). Определение метрологических характеристик измерительных каналов

Приложение А
(рекомендуемое)

Определение метрологических характеристик измерительных каналов

А.1 Для построения калибровочной характеристики Y = f(, X) (где Х - величина входного сигнала; Y - величина выходного сигнала; - вектор параметров), используют образцы НК, воспроизводящие не менее n = 5 значений X контролируемой (измеряемой) величины. Если на контролируемый параметр X установлен двусторонний допуск от Х_н до Х_в, то минимальное воспроизводимое (аттестованное) значение должно быть меньше нижней границы допуска Х_н, а максимальное - больше верхней границы допуска Х_в. В случае одностороннего допуска не более Х_в максимальное аттестованное значение должно быть больше Х_в.

Примечание - Если заведомо известно, что калибровочная характеристика линейная и на контролируемый параметр X установлен двусторонний допуск от Х_н до Х_в, то достаточно трех образцов НК с аттестованными значениями:

- не более Х_н,

- примерно равное (Х_н + Х_в)/2,

- не менее Х_в.

А.2 В каждой (j-й; j от 1 до n) точке проводят K  20 измерений выходного сигнала Y_kj. Измерения должны проводиться с полным повторением процедуры получения величины выходного сигнала.

А.3 Вычисляют среднее значение выходного сигнала

,

(А.1)

где k - номер измерения в j-й (j от 1 до n) точке;

оценку СКО результатов измерений

(А.2)

и СКО среднего значения

.

(А.3)

А.4 В соответствии с А.8 строят калибровочную характеристику Y = f(, X), задавая в качестве значений аргумента Х_j аттестованные значения величины, воспроизводимой образцами НК; в качестве значений СКО аргумента - значения , (где - доверительные границы погрешности аттестованных значений) в качестве значений функции - значения ; в качестве значений СКО функции - значения .

Модель калибровочной характеристики Y = f(, X) задают в виде непрерывной монотонной функции, описываемой минимально возможным количеством параметров.

А.5 Полуширина доверительного интервала I_x (в единицах входного сигнала) или I_Y (в единицах выходного сигнала) для доверительной вероятности Р = 0,95 дает границы .

А.6 При оценке СКО случайной составляющей погрешности в каждой точке вычисляют верхнюю доверительную границу СКО в

,

(А.4)

где - 5 %-ный квантиль - распределения с (K - 1) степенями свободы;

- коэффициент, учитывающий ограниченность выборки.

Предполагая, что СКО описывается функцией  = (, X), в которой параметр находят путем обработки результатов измерений по А.8, задавая входные данные для обработки следующим образом. В качестве значений функции берут верхние границы оценок СКО, вычисленные по формуле (А.4), а в качестве СКО этих оценок - значения, вычисленные по формуле

,

(А.5)

где s_j - СКО оценок по формуле (А.4).

Полученные при обработке значения коэффициентов определяют функцию  = (, X), описывающую зависимость СКО от входной величины.

А.7 Полученные значения коэффициентов, описывающих калибровочную характеристику, а также коэффициентов функций, описывающих систематическую и случайную составляющие погрешности, приводят в сертификате калибровки измерительного канала.

А.8 Построение функциональной зависимости между двумя величинами

А.8.1 Настоящий раздел приложения рассматривает способы построения функциональной зависимости, в том числе калибровочной характеристики, между двумя величинами Y и Х по нескольким парам их случайных реализаций - (X_j, Y_j).

,

(А.6)

где - это вектор параметров a₁, а₂, ..., a_m функциональной зависимости ( = (а₁, а₂, ..., а_m));

m - количество параметров.

Предполагается, что функциональная зависимость (А.6) строится при следующих допущениях:

- количество пар случайных величин: n > m;

- случайные величины Х_j и Y_j подчиняются нормальному закону распределения, при этом известны или могут быть определены дисперсии этих величин , ; или стандартные неопределенности:

,

(А.7)

;

(А.8)

- случайные величины X_j не коррелированы друг с другом;

- целью построения является нахождение наилучших значений параметров (a₁, а₂, ..., а_m) и неопределенности построения функциональной зависимости (А.6).

Примечания

1 Стандартные неопределенности u(X_j) оцениваются по типу В, a u(Y_j) - по типу А, т.е. по формуле, аналогичной формуле (А.3).

2 Допускается использовать настоящее приложение не только в случае нормального распределения случайных величин X_j и Y_j, но и в случаях любых симметричных одномодальных распределений.

А.8.2 Описанные в настоящем приложении алгоритмы могут быть применены:

а) для калибровки мер методом градуировки;

б) для построения калибровочной (градуировочной) характеристики измерительных приборов и измерительных преобразователей, описываемой функциональной зависимостью вида (А.6) и оценки ее неопределенности;

в) для аппроксимации MX СИ функциональной зависимостью вида (А.6);

г) для построения функций влияния и других дополнительных MX.

В перечислении а) 8.2 входными случайными величинами X_j являются значения величин, воспроизводимых эталонами, мерами, стандартными образцами, аттестованными объектами, а выходными Y_j - соответствующие значения выходного сигнала (показаний) измерительного прибора или измерительного преобразователя.

В перечислении б) 8.2 входными случайными величинами X_j являются наилучшие значения измеряемой величины в разных точках диапазона, воспроизводимые эталонными мерами, стандартными образцами, аттестованными объектами, а выходными Y_j - соответствующие оценки выходного сигнала калибруемого СИ или оценки систематической составляющей погрешности калибруемого СИ.

В перечислении в) 8.2 входными случайными величинами X_j являются наилучшие (средние) значения измеряемой величины в разных точках диапазона, выходными Y_j - соответствующие оценки MX СИ.

В перечислении г) 8.2 входными случайными величинами X_j являются значения влияющей величины (фактора), выходными Y_j - соответствующие оценки характеристик погрешности СИ.

А.8.3 Функциональную зависимость строят методом конфлюэнтного анализа, т.е. параметры (а₁, а₂, ..., а_m), находят из следующего условия (при n > m):

,

(А.9)

где - минимальное значение суммы квадратов;

W_j - статистические веса;

- сдвиги.

Статистические веса W_j и сдвиги задаются формулами:

,

(А.10)

.

(A.11)

Примечание - Величина s_xj представляет собой СКО неоднородности входных величин и применяется только в случае а) А.8.2, если величины, воспроизводимые мерами, стандартными образцами или аттестованными объектами являются распределенными.

А.8.4 Выбранная функция (А.6) правильно описывает функциональную зависимость, если выполняется условие

,

(А.12)

- 95 %-ный квантиль -распределения с (n - m) степенями свободы.

Если условие (А.12) не выполняется, то выбранная функция (А.6) неправильно описывает функциональную зависимость, и необходимо выбрать иную функцию.

А.8.5 Оценки погрешностей параметров (а₁, а₂, ..., а_m), и ширину доверительного интервала для зависимости (А.6) находят через элементы ковариационной матрицы Z^-1 из соотношения

,

(А.13)

где а_i и а_k - элементы ковариационной матрицы Z параметров (a₁, а₂, ..., а_m),

Z^-1 - матрица, обратная матрице Z. Элементы матрицы Z^-1 равны

.

(А.14)

А.8.6 Стандартные неопределенности оценок параметров u(а_i) вычисляют по формуле

.

(А.15)

А.8.7 Расширенные неопределенности оценок параметров U(a_i) вычисляют по формуле

.

(А.16)

Коэффициент охвата для вероятности охвата Р принимают равным квантилю нормального распределения (для Р = 0,95 k = 2), если ранее многократно был подтвержден правильный выбор аппроксимирующей функции (А.6), или квантилю распределения Стьюдента с (n - m) степенями свободы для доверительной вероятности охвата Р в противном случае (если калибровка проводится впервые или есть сомнения в правильности выбора аппроксимирующей функции).

А.8.8 Ширину доверительного интервала в точке X, выраженную в единицах величины выходного сигнала I_Y(Х), для вероятности охвата Р вычисляют по формуле

.

(А.17)

А.8.9 Ширину доверительного интервала в точке X, выраженную в единицах величины входного сигнала I_X(Х), т.е. в единицах измеряемой величины, для вероятности охвата Р вычисляют по формуле

,

(А.18)

где частная производная берется в точке X.

Примечание - Расширенные неопределенности оценок параметров U(a_i) могут быть использованы для оценки значимости параметров а_i. Например, при построении калибровочной (градуировочной) зависимости свободный член а₁ в зависимости Y = а₁ + а₂X представляет собой величину фонового сигнала или погрешность установки нуля. Критерием их незначимости является условие:

.

(А.19)