Приложение С (справочное). Пример анализа некоторых показателей безотказности, готовности, ремонтопригодности и безопасности для системы типа "1 из 2" с активным резервом

Приложение С
(справочное)

Пример
анализа некоторых показателей безотказности, готовности, ремонтопригодности и безопасности для системы типа "1 из 2" с активным резервом

С.1 Объект

Ниже рассмотрены системы с активным резервом типа "1 из 2" без учета ограничений на восстановление. Анализируемыми показателями являются коэффициент готовности (мгновенный), асимптотический коэффициент готовности, вероятность безотказной работы и MTTF. При этом использованы стандартные для данных задач математические методы.

С.2 Моделирование

Диаграмма состояний системы типа "1 из 2" с активным резервом, приведенная на рисунке С.1, построена для определения оценки коэффициента готовности. Состояние 3 - неработоспособное состояние.

Рисунок С.1 - Диаграмма состояний системы типа "1 из 2" с активным резервом с различными элементами и двумя группами восстановления

Следует отметить, что диаграмму состояний для анализа вероятности безотказной работы R(t) получают путем исключения переходов восстановления из состояния 3 в состояния 1 и 2. Таким образом, состояние 3 становится поглощающим состоянием.

Предполагая, что два элемента системы являются идентичными или имеют одинаковые интенсивности отказов и восстановлений, можно получить редуцированную диаграмму, приведенную на рисунке С.2.

Рисунок С.2 - Диаграмма состояний системы типа "1 из 2" с активным резервом с идентичными элементами, двумя группами восстановления и неограниченными ресурсами для восстановления

Следует отметить, что диаграмму состояний для анализа вероятности безотказной работы R(t) можно получить путем исключения перехода восстановления из состояния 2 в состояние 1. Таким образом, состояние 2 становится поглощающим состоянием.

С.3 Метод дифференциальных уравнений

С.3.1 Выражения для показателей готовности

Пусть Р₀(t), Р₁(t), P₂(t) - вероятности того, что в момент времени t система находится в состоянии 0, 1 и 2 соответственно (см. рисунок С.2). Согласно диаграмме состояний (см. рисунок С.2) могут быть записаны следующие дифференциальные уравнения:

,

,

.

На основе диаграммы состояний также может быть построена матрица интенсивностей переходов:

.

Можно записать матричное дифференциальное уравнение - ,

где Р(t) = [Р₀(t) P₁(t) P₂(t)]^T.

Затем находят собственные значения (, ) и собственные векторы Е(, ) матрицы Q^T. В случае различных собственных значений (что имеет место для большинства непрерывных марковских моделей и практически всех значений параметров) вектор вероятностей состояний имеет следующий вид:

.

Решая представленное выше матричное уравнение, вероятности P₀(t), Р₁(t), P₂(t) вычисляют, предполагая, например, что в момент времени t = 0 система находится в состоянии 0, т.е.

.

Мгновенный коэффициент готовность A_S0(t) вычисляют по формуле

.

Индекс S0 в A_S0(t) указывает на то, что коэффициент готовности определяют на уровне системы в предположении, что в момент времени t = 0 система находилась в состоянии 0. Для простой системы явное выражение A_S0(t) через и можно вывести с помощью преобразования Лапласа по формуле

.

На рисунке С.3 представлен численный пример, показывающий изменение коэффициента неготовности во времени U_S0(t) = 1 - A_S0(t).

Рисунок С.3 - Численный пример изменения коэффициента неготовности во времени

В общем случае для работы с дифференциальными уравнениями следует применять соответствующее программное обеспечение, позволяющее получить численное или графическое решение.

Асимптотический коэффициент готовности A_S0() = A_S получают непосредственно по формуле A_S0(t). Наоборот, устанавливая Р_i() = Р_i(i = 0, 1, 2) для асимптотических и установившихся значений вероятностей состояний, A_S получают в виде A_S = Р₀ + P₁, где Р_i являются решениями следующей системы уравнений (см. приложение А):

,

,

.

Любое из трех приведенных алгебраических уравнений, представленных выше, может быть получено из оставшихся двух; таким образом, имеется три переменных и только два линейно независимых уравнения. Поэтому в качестве третьего уравнения используют условие на сумму вероятностей Р₀ + Р₁ + Р₂ = 1. После некоторых математических преобразований получено следующее выражение:

.

В соответствии с приведенным выражением выведены следующие формулы для MUT_S и MDT_S:

,

,

где .

z_S является предельной и стационарной интенсивностью отказов (частотой отказов) на уровне системы (см. приложение А).

С.3.2 Выражения для вероятности безотказной работы

Для определения выражений для вероятности безотказной работы и наработки до отказа системы типа "1 из 2" с активным резервом (независимо от количества групп восстановления) состояние 2 (неработоспособное состояние системы) является поглощающим состоянием. Приведенные ниже дифференциальные уравнения записаны в соответствии с диаграммой состояний, приведенной на рисунке С.2, и невозможности перехода из состояния 2 в состояние 1:

,

,

.

Решая эту систему уравнений, находят вероятности P₀(t), P₁(t), P₂(t), предполагая, что в момент времени t = 0 система находилась в состоянии 0:

.

Вероятность безотказной работы системы R_S0(t) вычисляют по формуле

.

Явное выражение R_S0(t) через и может быть получено с помощью преобразования Лапласа и имеет следующий вид:

,

где

,

.

Выражение для MTTF_S0 может быть найдено или на основе R_S0(t), в этом случае

,

или согласно системе алгебраических уравнений, приведенной в А.2.2.1.

С.3.3 Выражения для показателей безопасности

Анализ показателей безопасности отличается только интерпретацией модели: состояние 2 должно быть определено как опасное состояние, а переход в это состояние происходит при отказе обоих элементов или если оба элемента отказывают в одно и то же время вследствие отказа по общей причине (в последнем случае диаграмма состояний должна быть расширена, как показано на рисунке В.8). При этом время восстановления следует рассматривать как время проверки.

Выражение для PFD такое же, как для коэффициента неготовности системы. При анализе MTTFH или DFR состояние 2 следует рассматривать как поглощающее состояние, вывод аналогичен выводам для показателей безотказности.

На рисунке С.4 показан численный пример для показателя DFR, полученного из соотношений для вероятности безотказной работы системы.

Рисунок С.4 - Численный пример для интенсивности опасных отказов