Приложение А (справочное). Основные математические соотношения, используемые в марковских методах

Приложение А
(справочное)

Основные математические соотношения, используемые в марковских методах

А.1 Общие положения

Сведения, представленные в данном приложении, применимы к однородным по времени марковским процессам с конечным числом состояний и непрерывным временем. Так как для данных процессов характерно отсутствие памяти, распределение продолжительности состояния является экспоненциальным. Например, по отношению к модели безотказности это означает, что интенсивности отказов и восстановлений ( и ) - постоянные величины (т.к. не зависят от времени). Интенсивности отказов и восстановлений изменяют значение только при изменении состояния.

А.2 Матрица интенсивностей переходов

А.2.1 Диаграмма состояний

Однородный по времени марковский процесс полностью характеризуется матрицей интенсивностей переходов Q = [q_ij] и вектором начальных вероятностей в момент времени t = 0. Полезным графическим отображением матрицы интенсивности переходов является диаграмма состояний и переходов. При разработке диаграммы состояний полезно использовать структурную схему надежности (при ее наличии) и FMEA системы. В любом случае для сокращения количества состояний рекомендуется объединять группу, состоящую из n (n = 2, 3, ...) последовательных элементов, в один элемент с интенсивностью отказов  + ... +  и интенсивностью восстановлений ( + ... + )/(/ + ... + /), при условии  << , где i = 1, ..., n.

После построения и проверки диаграммы состояний (с учетом тщательного анализа режимов отказов, предполагаемых приоритетов восстановления и характерных особенностей системы) пространство состояний {0, 1, ..., m} делят на две совокупности: UP - множество работоспособных состояний и D - множество неработоспособных состояний, где m - общее количество состояний. Множество неработоспособных состояний зависит от исследуемых свойств системы (безотказности или безопасности).

А.2.2 Основные соотношения, используемые для вычислений в марковских методах

А.2.2.1 При анализе показателей безотказности среднюю наработку до отказа системы MTTF_Si (если в момент времени t = 0 система была в состоянии i) вычисляют следующим образом:

.

Примечание 1 - При корректном определении множества работоспособных состояний UP приведенная выше система алгебраических уравнений также может быть использована для вычисления наработки до опасного отказа (при анализе безопасности).

Примечание 2 - Если в момент времени t = 0 система находилась в i-ом состоянии, то точное выражение для вероятности безотказной работы системы R_Si(t) вычисляют по формуле (например, используя преобразование Лапласа).

.

A.2.2.2 Выражение для оценки асимптотического или стационарного коэффициента готовности A_s имеет вид:

,

где

.

Так как данные уравнения не являются независимыми, одно уравнение для P_j (произвольно выбранное) может быть заменено следующим соотношением:

.

А.2.2.3 В связи с тем, что интенсивность отказов предполагается постоянной, аппроксимацией интервальной вероятности безотказной работы IR_S в стационарном состоянии является

,

где 0 означает, что все элементы функционируют (или готовы функционировать).

А.2.2.4 Выражение для асимптотической или стационарной интенсивности отказов (частота отказов) на уровне системы z_S имеет следующий вид:

.

Примечание 1 - В этом выражении должны быть учтены все интенсивности переходов q_ij из состояния j UP в состояние i D.

Примечание 2 - Для малых значений величина z_S является вероятностью перехода из состояния, принадлежащего множеству работоспособных состояний, в состояние, относящееся к множеству неработоспособных состояний (и наоборот) за период времени (t, t + ) для произвольного времени t (установившееся состояние).

А.2.2.5 Выражения для MUT_S (средняя продолжительность работоспособного состояния на уровне системы) и MDT_S (средняя продолжительность неработоспособного состояния на уровне системы) для стационарного состояния имеют следующий вид:

.

Примечание - MUT_S + MDT_S = 1/z_S, где z_S - асимптотическая и установившаяся интенсивность отказов (частота отказов) на уровне системы в соответствии с А.2.2.4.

А.2.2.6 Для заданного i-го состояния справедливо следующее:

1/q_i - безусловная средняя продолжительность i-го состояния;

P_i(t)q_i - частота выхода из i-го состояния.

- безусловная вероятность перехода в i-е состояние в течение периода времени (t, t + ) при малом .

Для больших последовательно-параллельных структурных схем известны приближенные выражения, которые можно найти в литературных источниках. Для очень больших сложных систем используют метод моделирования Монте-Карло.