Приложение В (справочное). Основные формулы

Приложение В
(справочное)

Основные формулы

В.1 Общие положения

Рекомендуемые настоящим стандартом измерения радиационной силы проводят в условиях "открытого сосуда" (условиях Ланжевена), т.е. облучаемая жидкость контактирует с окружающей средой, подверженной внешнему давлению воздуха.

В.2 Формулы для плоской волны

При таких условиях и для плоских ультразвуковых волн малой амплитуды радиационное давление, проявляющееся на границе раздела двух сред, равно разности между плотностями акустической энергии на обеих сторонах поверхности. В этом случае соотношение между составляющей F радиационной силы на мишень в направлении распространения первичной волны и акустической выходной мощностью Р ультразвукового преобразователя выражают:

- для идеальной поглощающей мишени по формуле

P = cF;

(В.1)

- для идеальной отражающей мишени по формуле

,

(В.2)

где с - скорость звука в среде распространения (в воде);

- угол между направлением распространения падающей волны и нормалью к отражающей поверхности.

Примечание - Под направлением падающей волны подразумевается направление оси ультразвукового поля, т.е. его общее, а не частное определение.

В.3 Принятые приближения

В.3.1 Приведенные выше формулы основаны на следующих предположениях.

В.3.2 Мишень является достаточно большой, чтобы перекрыть все поперечное сечение ультразвукового пучка, т.е. доля акустической мощности, излучаемая в направлениях, проходящих мимо мишени, пренебрежимо мала по сравнению с полной акустической мощностью.

В.3.3 В среде распространения отсутствует поглощение ультразвука. При его наличии символ Р в этих формулах представляет акустическую мощность в месте расположения мишени. Для преобразования этой акустической мощности в выходную мощность ультразвукового преобразователя ее значение умножают на exp(), где z - расстояние между мишенью и ультразвуковым преобразователем, - амплитудный коэффициент затухания плоских волн. Значение в мегагерцевом диапазоне частот пропорционально f² и рассчитано, например, по формуле

,

(В.3)

где f - ультразвуковая частота [38].

Приведенные выше формулы предполагают отсутствие нелинейных искажений, а также добавочных сил на мишень, вызванных акустическими течениями (предполагается использование экранирующей пленки).

В.4 Ограничения для несфокусированных полей

В.4.1 Приведенные выше формулы выведены в предположении распространения плоской волны (в плосковолновом приближении). Но структура поля ультразвуковых преобразователей в общем случае отличается от плоской волны главным образом из-за дифракционных эффектов. Тем не менее использование этих формул рекомендуется из следующих соображений.

В.4.2 При проведении эксперимента для измерений с точностью в несколько процентов отсутствуют некачественные ультразвуковые преобразователи поршневого типа.

В.4.3 С теоретической точки зрения [см. [39] и выражение (Е.2) в приложении Е] плосковолновое приближение приблизительно верно для круглого поршневого источника с достаточно высоким значением ka (k =  - волновое число в среде распространения; а - радиус ультразвукового преобразователя; теоретическое исследование ограничено случаем поглощающей мишени). Например, несоответствие не превышает 2 %, если ka  35, что, как правило, легко выполняется для ультразвуковых преобразователей. Несостоятельность приведенных выше формул может иметь место главным образом в диапазоне низких значений ka (введение поправок для этого случая рассмотрено в приложении Е).

Подобное предположение применимо и для прямоугольного излучателя поршневого типа [27]. Для него можно аппроксимировать плосковолновое предположение, если значение kh_h достаточно высокое (kh_h - гармоническое среднее из половин двух ортогональных сторон преобразователя). В случае излучения непрерывной волны отклонение от этого предположения не превышает 2 %, если kh_h  36. Необходимость введения поправок может возникнуть только для меньших значений kh_h (см. приложение Е).

В.5 Поглощающая мишень в сфокусированном поле

В.5.1 Теоретически обосновано (см. [26], [27]), что формула плосковолнового приближения не полностью верна для фокусируемых ультразвуковых преобразователей. Вместо нее ниже даны два выражения для радиационной силы. При этом предполагаются наличие идеального фокусируемого преобразователя с постоянной амплитудой колебаний, перпендикулярных к его излучающей поверхности, отсутствие поглощения в жидкости и идеальная поглощающая мишень существенно больших поперечных размеров для перекрытия всего ультразвукового пучка, а также пренебрежимо малые дифракционные искажения на периферии пучка. Тогда для круглого преобразователя:

,

(В.4)

где  = arcsin(a/d) - фокальный угол (полуугол), если для преобразователя со сферической кривизной фокусное расстояние отсчитывают от "дна" "чаши";  = arctg(a/d), если фокусное расстояние отсчитывают от плоскости, включающей края активной части "чаши", или если преобразователь плоский;

d - геометрическое фокусное расстояние;

а - радиус активного элемента ультразвукового преобразователя.

При   0 или d  выражение (В.4) преобразовано в формулу для плоской волны.

Для прямоугольного преобразователя

,

(В.5)

причем

,

,

где и - фокальные (полу-)углы фокусируемого ультразвукового преобразователя в плоскости х-z и y-z соответственно.

При   0 и   0 или d_x   и d_y  выражение (В.5) приводится к формуле для плосковолнового приближения.

Для приведенных выше формул необходимо постоянство амплитудно-фазового распределения по поверхности преобразователя. Если фокусировка достигнута только посредством кривизны преобразователя, то это означает, что его поверхность является поверхностью постоянной фазы и амплитуды. Но данное утверждение не совсем верно для других случаев, когда фокусировка достигнута иными способами, например фазовым распределением. В этом случае приведенные выше формулы не являются абсолютно достоверными, но тем не менее их рекомендуется использовать как аппроксимацию.

До тех пор пока не получены подтверждения (теоретические или экспериментальные) этих различий, их рекомендуется рассматривать и учитывать как вклад в неопределенность в измерения мощности сфокусированных полей.

Примечание - В выражениях (В.4) и (В.5) пренебрегают дифракционными эффектами на краях пучка (см. [26], [27]). Это соответствует и изложенному в разделе В.4 для плосковолнового приближения в несфокусированных полях. Дифракционные эффекты зависят от волновой формы акустического поля, а также от распределения амплитуды (аподизации) по поверхности преобразователя, и обычно их трудно учесть.

В.5.2 Ниже приведены несколько примеров для значений P/cF, полученных по выражениям (В.4) и (В.5).

Для круглого фокусируемого преобразователя с фокальным (полу-)углом  = 25° по выражению (В.4) следует, что

P/cF = 1,049.

Для прямоугольного фокусируемого преобразователя с  =  = 25° по выражению (В.5) следует, что

P/cF = 1,063.

Если  = , требуется более значительная поправка, чем для круглого преобразователя с аналогичным значением фокального угла, так как волны от углов преобразователя падают под большим углом к оси пучка, чем для круглого преобразователя. Но в этом отсутствует необходимость, если    (см. пример ниже).

Для прямоугольного фокусируемого преобразователя с  = 25°,  = 15° или  = 15°,  = 25° по выражению (В.5) следует, что

P/cF = 1,043.

Выражение (В.5) относится к фокусировке в двух плоскостях. Если фокусировка получена только в одной плоскости, например в плоскости х-z, что соответствует  = 0 , но тогда выражение (В.5) становится неопределенным. Эта проблема может быть решена применением правила Лопиталя, что приводит к P/cF = 2 sin /(+ sin cos ) или к формуле с , где угол в знаменателе должен быть выражен в радианах.

Для прямоугольного преобразователя с  = 25°,  = 0° или  = 0°,  = 25° указанное правило приводит к следующему результату:

P/cF = 1,032.

В.6 Отражающая мишень в сфокусированном поле

Ниже приведена приблизительная формула для вычисления радиационной силы при использовании конического отражателя в сфокусированном ультразвуковом поле круглого преобразователя [28]. Она основана на следующих предположениях.

Ультразвуковое поле, создаваемое круглым преобразователем со сферической поверхностью в непоглощающей жидкости, считается состоящим из акустических лучей, каждый из которых распространяется вдоль прямой линии и полностью отражается от поверхности мишени как плоская волна, при этом - фокальный полуугол.

Коническая мишень - это идеальный твердый или мягкий отражатель. Ее вершина находится на оси поля между преобразователем и его фокусом. Геометрия мишени характеризуется углом , как это определено в разделе 4. Типичные значения вогнутых отражателей лежат между 25° и 30°. Для выпуклых отражателей эти значения следует понимать как отрицательные, и тогда типичное значение  = -45°.

Мишень полностью перекрывает все поле, т.е. не существует лучей, которые не попадали бы на мишень.

Отраженные лучи свободно распространяются до бесконечности или до тех пор, пока полностью не поглотятся идеальным поглотителем. Ни один из лучей не возвращается на преобразователь. В случае с вогнутой мишенью многократных отражений не существует.

В этом случае выражение имеет вид

,

где

.

(B.6)

Примечания

1 Угол фигурирует в приведенной формуле не только в тригонометрических функциях и поэтому должен выражаться в радианах.

2 Если  = -45°, то в соответствии с формулой (В.6) значение P/cF составит 0,98 (т.е. разница между значениями, вычисленными по формулам (В.2) и (В.6), составит 2 %) при значении , соответствующем d = 32а. Это обстоятельство является основой для соответствующих рекомендаций в 5.2.3.

Следует отметить, что приведенная выше формула переходит в ступенчатую функцию Хевисайда, когда вершина конуса перемещается через фокус.

Приведенная выше формула получена на основе несовершенной модели, и поэтому ее следует рассматривать как аппроксимацию. Эффектами дифракции при этом можно пренебречь, как и мнимыми частями скорости частиц, появляющимися, когда акустические лучи не параллельны друг другу. Локальное отклонение от прямого распространения (например, в результате дифракции) может привести к увеличению или уменьшению радиационной силы, тогда как при использовании поглотителя дифракция приводит к уменьшению радиационной силы.

Примечания

1 Тем не менее существует экспериментальное и численное подтверждение правильности акустической модели, положенной в основу формулы (В.6) [40]. В этом эксперименте с выпуклым коническим отражателем с углом  =-45° формула (В.6) приблизительно верна, когда расстояние между преобразователем и вершиной конуса превышает 20 мм и менее фокусного расстояния на 10 мм. На расстояниях, меньших 20 мм, при явном наличии отражений между преобразователем и конусом измеряемая сила возрастает и примерно удваивается на очень малых расстояниях; на расстояниях от фокуса больших, чем фокусное расстояние минус 10 мм, измеряемая сила постепенно уменьшается от дофокусного значения, определяемого по формуле (В.6), до более низких значений за фокусом.

2 Экспериментами подтверждено [41], что, по меньшей мере, при высоких уровнях мощности (HITU) измерения с коническим отражателем в сфокусированных полях сопровождаются повышением неопределенности по сравнению с измерениями с поглощающей мишенью.

3 Для измерений с конической отражающей мишенью в сфокусированном поле прямоугольного преобразователя соответствующая формула отсутствует. Поэтому для таких условий их использовать не рекомендуется.

В.7 Поглощающая мишень при на