Приложение А (рекомендуемое). Статистическая оценка результатов испытаний

Приложение А
(рекомендуемое)

Статистическая оценка результатов испытаний

А.1 Общие положения

А.1.1 Испытания электрической прочности изоляции со статистической оценкой результатов испытаний можно применять только в тех случаях, когда разряды в изоляции не вызывают изменений в состоянии испытуемого объекта, т.е. когда результаты каждого приложения напряжения являются независимыми от предыдущих. Это имеет место при испытании внешней самовосстанавливающейся изоляции, при испытании изоляции газонаполненных аппаратов с выполнением требований 4.2.5 настоящего стандарта в части осуществления операций "включение - отключение", а также при испытании несамовосстанавливающейся изоляции в случае, если разрядное (пробивное) напряжение определяют на основании испытания достаточного числа идентичных образцов, изготовленных по одной технологии.

А.1.2 Основной задачей статистической оценки результатов испытания изоляции является определение выдерживаемого напряжения с нормированной вероятностью и сравнение этого напряжения с нормированным значением.

В общем случае выдерживаемое с заданной вероятностью (обычно 90 или 50 %) напряжение определяют по формуле

,

(А.1)

где U_в.о - выдерживаемое напряжение испытуемого объекта;

U'₅₀ - нижнее значение 50 %-ного разрядного напряжения (U₅₀) в доверительном интервале при заданной точности определения U₅₀;

- наибольшее значение в относительных единицах стандартного отклонения в доверительном интервале при заданной точности определения ;

- коэффициент, определяемый заданной (нормированной) вероятностью выдерживания;  = 1,3 при нормированной вероятности выдерживания р = 90 % и  = 0 при р = 50 %.

Погрешность определения стандартного отклонения в настоящем стандарте нормируется не более 0,2 при доверительной вероятности 95 %, а 50 %-ного разрядного напряжения - 0,02 при той же доверительной вероятности.

А.1.3 Стандартное отклонение принимают равным:

- для внешней изоляции при напряжениях грозового импульса - 0,03;

- для элегазовой аппаратной изоляции при давлении 0,3-0,4 МПа при напряжении грозового импульса - 0,05, при напряжении коммутационного импульса - 0,06;

- для внешней изоляции при напряжениях коммутационного импульса в зависимости от типа межэлектродного промежутка:

кольцо (экран) - плоскость (земля), в том числе при наличии опорной конструкции из изоляторов в этом промежутке - 0,06,

стержень - плоскость (неэкранированный нож разъединителя против заземленной плоскости) - 0,08

кольцо - кольцо, горизонтально расположенные (между экранами разъединителя):

между экранами одного и того же полюса - 0,06,

между экранами соседних полюсов - 0,05,

провод в пролете - земля - 0,04,

провод - провод в пролете - 0,03,

провод - провод параллельно и в пересечении на подстанции - 0,05,

провод - опора, экран - опора, экран - траверса - 0,06.

Для конструкций внешней изоляции, существенно отличающихся от приведенных, и для внутренней воздушной изоляции (воздух под давлением) значения стандартного отклонения определяют по результатам испытаний в соответствии с настоящим приложением.

А.2 Классификация статистических методов испытания

Относительно широкое распространение и достаточную проработку для статистической оценки результатов испытаний имеют следующие методы испытаний изоляции полным разрядом:

1) ступенчатый метод;

2) метод "вверх-вниз";

3) метод 100 %-ного разряда.

Примечания

1 Ступенчатый метод и метод "вверх-вниз" применяются для оценки статистических параметров случайного события (появления полного разряда или противоположного ему события - отсутствия полного разряда): 50 %-ного разрядного напряжения U₅₀ и стандартного отклонения .

2 Метод 100 %-ного разряда применяется для оценки статистических параметров случайной величины (значения разрядного напряжения U_i): среднего разрядного напряжения U_ср и среднеквадратичного отклонения s. В отличие от двух первых методов метод 100 %-ного разряда используют для статистической обработки результатов испытания изоляции лишь при полных разрядах на ней.

А.2.1 Ступенчатый метод испытания предусматривает приложение к объекту j серий из N приложений напряжения неизменной формы, в каждой из которых определяется относительное число разрядов (частость) f_j = n_j/N. Для получения достоверных результатов число приложений N должно быть не менее 20. В двух последовательных сериях значение амплитуды (уровень) воздействующего напряжения различается на величину ступени , которая зависит от формы воздействующего напряжения, типа испытуемой изоляционной конструкции и исчисляется в долях от абсолютного значения ожидаемого стандартного отклонения *.

Ступенчатый метод используют в основном при испытаниях изоляции импульсными напряжениями, хотя он пригоден и при других формах воздействующего напряжения.

А.2.2 Метод испытания "вверх-вниз" предусматривает приложение к объекту одинаковых по форме и различных для каждого из последующих приложений по значению напряжений в зависимости от результата предшествующего приложения. Если при приложении данного напряжения на объекте испытания произошел полный разряд, то значение напряжения при последующем приложении уменьшают, если же полного разряда не было, то значение напряжения увеличивают.

Данный метод испытания так же, как и ступенчатый, применяемый, в основном, при испытаниях импульсными напряжениями, имеет то преимущество, что требует наименьшего числа опытов для определения 50 %-ного разрядного напряжения с заданной точностью. Его используют, главным образом в тех случаях, когда значение стандартного отклонения нормировано и требуется определить только 50 %-ное разрядное напряжение.

А.2.3 Метод 100 %-ного разряда предусматривает многократное приложение к объекту непрерывно возрастающего или поддерживаемого неизменным напряжения до появления полного разряда. При каждом приложении регистрируют напряжение (и время), при котором происходит полный разряд.

Данным методом могут быть выполнены испытания при переменном, постоянном и импульсном напряжениях. В последнем случае требования к значению предразрядного времени T_р (диапазону изменения предразрядного времени) и соответствующему ему разрядному напряжению U_p (диапазону изменения разрядного напряжения) должны быть указаны в НД на электрооборудование отдельных видов.

А.3 Проведение испытания и анализ его результатов

В большинстве случаев зависимость вероятности разряда от амплитуды воздействующего напряжения (кривая эффекта) с достаточной для практических целей точностью аппроксимируется выражением, совпадающим с математической записью нормального закона распределения вероятности (распределение Гаусса)

.

(A.2)

В частности, принято считать, что статистические разрядные характеристики внешней самовосстанавливающейся изоляции удовлетворительно описываются выражением (А.2) при изменении вероятности разряда в пределах 2 % - 98 %, а для внутренней газовой изоляции - в пределах 10 % - 90 %.

При определении параметров функции распределения вероятности по экспериментальным данным из-за ограниченного числа опытов значения параметров кривой эффекта носят оценочный характер и обычно обозначаются:

- оценочное значение 50 %-ного разрядного напряжения;

- оценочное значение стандартного отклонения, характеризующего наклон кривой эффекта.

А.3.1 Испытание ступенчатым методом (А.2.1) может быть выполнено двумя способами:

1) определением относительного числа разрядов на нескольких различных уровнях напряжения;

2) только при двух значениях напряжения U₁ и U₂, соответствующих относительным числам разрядов (частости разряда) 0,1 и 0,9.

В качестве примера применения первого более простого способа проведения испытания ступенчатым методом в таблице А.1 приведены результаты испытания опорной изоляционной конструкции, а на рисунке А.1 представлена кривая эффекта, построенная на вероятностной сетке по данным таблицы А.1.

Таблица А.1 - Результаты испытания ступенчатым методом опорной изоляционной конструкции (число приложений напряжения в серии - N = 20)

Порядковый номер серии j	1	2	3	4
Амплитуда приложенного напряжения Uj, кВ	487	497	503	512
Число полных разрядов nj	2	8	12	18
Частость полного разряда fj = nj/N	0,1	0,4	0,6	0,9

Рисунок А.1 - Кривая эффекта, построенная по результатам испытаний ступенчатым методом (А.2.1) на различных уровнях напряжения по данным таблицы А.1

Ось ординат вероятностной сетки выполнена в масштабе нормального закона распределения вероятности, а поскольку построенная на ней кривая эффекта носит линейный характер, то она подчиняется этому закону.

Экспериментальное значение 50 %-ного разрядного напряжения составляет 500 кВ (см. рисунок А.1). При подчинении кривой эффекта нормальному закону абсолютное оценочное значение стандартного отклонения определяется разностью между 50 %-ным и 16 %-ным разрядными напряжениями и составляет 10 кВ. Оценочное значение относительного стандартного отклонения , определяемое как

,

(А.3)

окажется равным .

Испытание вторым способом, получившим название "двух точек", выполняют в следующей последовательности:

- проводят приблизительную оценку U₅₀ при нескольких различных уровнях напряжения приложением 4-5 раз напряжения каждого уровня, а затем 10 раз напряжения того уровня, при котором наблюдались разряды и отсутствие разрядов; затем, если необходимо, корректируют уровень воздействующего напряжения;

- при напряжении U₂ = U₅₀ (1 + 1,3*), где * - относительное значение ожидаемого стандартного отклонения, определяют относительное число разрядов f_p (частость разряда) при промежуточном числе приложений напряжения, равном 20;

- если частость разряда оказывается в пределах 0,85-0,95, то испытание продолжают до 100 приложений напряжения.

Уточненное значение f_p также должно находиться в указанных пределах, в противном случае корректируют уровень напряжения и опыт повторяют. После определения точки U₂ аналогичное испытание выполняют для определения точки U₁, соответствующей частости разряда в пределах 0,05-0,15, т.е. при напряжении U₁ = U₅₀ (1 - 1,3*) определяют частость разряда f_p сначала при промежуточном числе приложений напряжения и т.д.

Общее число приложений напряжения, равное 200, достаточно для получения погрешности для (при его относительном значении не более 0,1) и 50 %-ного разрядного напряжения, нормируемых настоящим стандартом (соответственно 0,2 и 0,02 при 95 %-ной доверительной вероятности).

При больших значениях * необходимое суммарное число результатов N может быть определено по приближенной формуле

,

(А.4)

где - оценочное значение 50 %-ного разрядного напряжения,

- относительная погрешность определения .

При заданном значении  = 0,02 и доверительной вероятности 95 %,

.

(А.5)

Полученные указанным способом значения U₁ и U₂ наносят на вероятностную сетку, как показано на рисунке А.2. Через полученные точки проводят прямую линию. Абсолютное оценочное значение определяют как разность напряжений, соответствующих вероятностям разрядов, равным 50 % и 16 % (рисунок А.2), а оценочное значение 50 %-ного разрядного напряжения - как напряжение, соответствующее вероятности разряда 50 %.

Значение 50 %-ного разрядного напряжения U₅₀ и относительное значение стандартного отклонения будут находиться в интервалах:

,

(А.6)

,

(А.7)

где - оценочное относительное значение стандартного отклонения .

Поскольку U'₅₀ - нижние значения 50 %-ного разрядного напряжения (U₅₀) в доверительном интервале при заданной точности определения U₅₀, а - наибольшее значение в относительных единицах стандартного отклонения в доверительном интервале при заданной точности определения , то значения U'₅₀ и определяются по формулам:

,

(А.8)

.

(А.9)

В зависимости от величины значения и определяются как:

при ;

при .

Затем U'₅₀ и подставляют в формулу (А.1) для определения выдерживаемого напряжения и оценки результатов испытания.

А.3.2 При испытании методом "вверх-вниз" для определения 50 %-ного разрядного напряжения (А.2.2) разность между соседними уровнями напряжения выбирают в пределах

,

где * - ожидаемое или нормируемое относительное значение стандартного отклонения;

U*₅₀ - ожидаемое значение 50 %-ного разрядного напряжения.

Результаты испытаний представляют в виде ряда возрастающих значений напряжения U₀, U₁, U₂, ..., U_i, U_m, следующих через равные ступени напряжения , и соответствующих этим значениям напряжений чисел разрядов n₀, n₁, n₂, ... n_i, n_m и отсутствия разрядов n'₀, n'₁, n'₂, ... n'_i, n'_m. Если суммарное число разрядов N меньше суммарного числа отсутствия разрядов N', то оценочное значение 50 %-ного разрядного напряжения определяют по формуле

,

(А.10)

где U₀ - нижний уровень напряжения (нулевая ступень), которое прикладывали два или более раз;

N и А определяют по формулам:

.

(А.11)

Рисунок А.2 - Кривая эффекта, построенная по результатам испытаний ступенчатым методом (А.2.1) по двум уровням напряжения

Если суммарное число отсутствия разрядов меньше суммарного числа разрядов, то

,

(А.12)

где N' и А' определяют по формулам:

,

(А.13)

где m - число ступеней испытательного напряжения (без "нулевой" ступени).

Необходимое число приложений напряжения (ступеней - (N + N')) для определения 50 %-ного разрядного напряжения с заданной точностью и доверительной вероятностью 95 % при 0,5 *    2* и погрешность 50 %-ного разрядного напряжения вычисляют по приближенным формулам:

,

(А.14)

.

(А.15)

Абсолютное оценочное значение стандартного отклонения можно определить по формуле

,

(А.16)

где

(А.17)

В качестве примера применения метода испытаний "вверх-вниз" (метод А.2.2) на рисунке А.3 приведены результаты испытания опорной изоляционной конструкции.

Рисунок А.3 - Результаты испытаний изоляции методом "вверх-вниз" (метод А.2.2)

Для приведенных на рисунке А.3 результатов испытаний исходными данными для определения оценочных значений 50 %-ного разрядного напряжения и стандартного отклонения являются:

- нижний уровень напряжения (нулевая ступень) U₀ = 480 кВ;

- ступень напряжения  = 5 кВ;

- суммарное число разрядов N = 15;

- суммарное число отсутствия разрядов N' = 16.

Поскольку N < N', коэффициент A определяется по формуле (А.11).

Разряды происходили при трех уровнях напряжения i:

- первый уровень - 485 кВ - 3 разряда,

- второй уровень - 490 кВ - 8 разрядов,

- третий уровень - 495 кВ - 4 разряда.

Отсюда коэффициент А будет равен

.

Оценочное значение 50 %-ного разрядного напряжения определяется по формуле (А.10):

,

коэффициент В определяется по формуле (А.17):

.

Абсолютное оценочное значение стандартного отклонения определяется по формуле (А.16):

,

.

А.3.3 При испытании методом 100 %-ного разряда (А.2.3) результаты испытаний представляют серию из N значений случайной величины - разрядного напряжения U_i. В большинстве случаев статистические характеристики разрядного напряжения (зависимости вероятности появления р_i разрядного напряжения с совокупностью значений U, равными или меньше U_pi, от величины разрядного напряжения) с достаточной для практических целей точностью аппроксимируются нормальным законом распределения с параметрами: среднее разрядное напряжение U_cp и среднеквадратичное отклонение s, характеризующее разброс разрядных напряжений относительно U_ср (наклон кривой распределения вероятности).

По полученной совокупности значений U_i определяют оценочное значение среднего разрядного напряжения и абсолютное оценочное значение среднеквадратичного отклонения s_a по формулам:

;

(А.18)

.

(А.19)

Примечание - Вероятность р₅₀ появления разрядного напряжения с совокупностью значений U   =  равна 50 %.

Для исключения случайных ошибок результаты испытаний могут быть представлены графически на вероятностной сетке. Для этого значения разрядных напряжений располагают в порядке возрастания и нумеруют. Затем значения р_i = N_i/(N + 1) в процентах наносят на вероятностную сетку по оси ординат в функции от U_i (рисунок А.4), где N_i - число всех разрядов при напряжении U  U_pi, а N - общее число приложений напряжения (разрядов).

Если среднеквадратичное отклонение не нормировано, то по полученным значениям и определяют среднее разрядное напряжение U_ср и абсолютное значение среднеквадратичного отклонения s_a по формулам:

;

(А.20)

Рисунок А.4 - Вероятность появления разрядного напряжения со значением U  U_pi (метод А.2.3)

;

(A.21)

где .

(A.22)

t_p, , являются функциями числа разрядов (приложений напряжения) N и доверительной вероятности; при доверительной вероятности 95 % соответствующие значения этих функций даны в таблице А.2

Таблица А.2

N
5	1,,24	0,60	2,87
10	0,72	0,69	1,83
15	0,55	0,73	1,58
20	0,47	0,76	1,46
30	0,37	0,80	1,34
40	0,32	0,82	1,28
50	0,28	0,84	1,25

По полученным значениям и определяют U'_ср, U''_ср и s'_a по формулам:

;

(А.23)

;

(А.24)

,

(А.25)

где U'_cp - нижнее значение среднего разрядного напряжения (U_cp) в доверительном интервале при заданной точности определения U_ср;

U''_cp - верхнее значение среднего разрядного напряжения (U_cp) в доверительном интервале при заданной точности определения U_cp;

s'_a - наибольшее значение в относительных единицах среднеквадратичного отклонения s в доверительном интервале при заданной точности определения.

При числе опытов, равном 15, и доверительной вероятности, равной 95 %:

;

(А.26)

;

(А.27)

.

(A.28)

Затем U'_ср, U''_ср и относительное значение среднеквадратичного отклонения s' = s'_a/U'_cp подставляют в формулы (А.29) и (А.30) для оценки верхней (формула (А.29)) и нижней (формула (А.30)) границ разброса разрядных напряжений относительно среднего значения U_cp.

,

(А.29)

,

(А.30)

где - коэффициент, определяющий заданную (нормированную) вероятность появления разрядного напряжения со значением U  U_p.в (U_p.н). При вероятности появления разрядного напряжения со значениями U_p.в(90) (р = 90 %) и U_p.н(10) (p = 10 %)  = 1,3. При U = U_cp (р = 50 %)  = 0.

Границы разброса разрядных напряжений можно также определить графически, используя кривую распределения рисунка А.4.

А.4 Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия может использоваться для оценки результатов всех вышеуказанных методов испытаний при любой функции распределения вероятности. Данный метод допускает оценку параметров и, следовательно, значений разрядного напряжения U_p. Кроме того, можно, используя все полученные результаты, найти доверительные интервалы, относящиеся к любой доверительной вероятности С.

При испытании методами А.2.1 и А.2.2 известны число разрядов N и число отсутствия разрядов N' при каждом уровне напряжения U_i. Если для функции распределения вероятности полного разряда справедливо выражение p(U; U₅₀, ), то при уровне напряжения U_i вероятность разряда будет р(U_i; U₅₀, ), а вероятность отсутствия разряда будет (1 - p(U_i; U₅₀, )). Функция правдоподобия L_i, соответствующая N разрядам и N' отсутствия разрядов, при уровне напряжения U_i будет

.

(А.31)

Поскольку U_i, N и N' известны, L_i является функцией только параметров U₅₀ и .

Правдоподобие всей совокупности результатов, охватывающих n значений U_i, будет

.

(А.32)

При испытании методом А.2.3 каждому полному i-му разряду соответствует значение напряжения U_i. Обычно значение напряжения U_i будет появляться m_i раз, где m_i  1. Логарифм правдоподобия L будет

,

(А.33)

где f - функция плотности вероятности в окрестностях U_i (i = 1, ... n).

Наилучшие оценки параметров U₅₀, - это такие значения U*₅₀ и *, при которых достигается наибольшее значение L. Расчеты должны проводиться численными методами.

При использовании компьютера максимальное значение L можно найти итерационными методами расчетов для ожидаемых значений параметров (U*₅₀ и *). Имея оцененные параметры, можно найти значение U_p, соответствующее любому значению вероятности р, используя ожидаемую функцию распределения вероятности разряда. При С = 0,9 уравнение L(U₅₀, ) = 0,1L_max позволяет определить эти доверительные интервалы.

Примечание - В дополнение к анализу, основанному на распределении Гаусса (см. А.3.1), метод наибольшего правдоподобия позволяет также получать достоверные результаты для других функций распределения вероятности, а именно: для распределений Вейбула или Гумбела.