Приложение В (справочное). Альтернативный подход к "бриджингу" и нормализации

Приложение В
(справочное)

Альтернативный подход к "бриджингу" и нормализации

В.1 Введение

Настоящее приложение описывает метод вычисления значений молярной доли и соответствующих им неопределенностей для анализа с применением методик пошаговой нормализации и нормализации среднего значения с использованием обобщенного МНК или полиномов Лагранжа. Анализ пробы газа приводит к измеренным значениям , как описано в блок-схеме на рисунке В.1. Блок-схема преобразований данных приведена на рисунке В.2.

Рисунок В.1 - Вычисление нормализованных значений молярной доли при использовании нормализации среднего значения и пошаговой нормализации

Рисунок В.2 - Блок-схема процесса преобразования данных

В пунктах 5.2.2, 5.2.3 и подразделе 5.5 приведено описание преобразования в , в этом случае и идентичны, и далее описано преобразование в х _i,l. Методы, описанные в этих пунктах и подразделе, могут применяться только при определенных условиях, более детально рассмотренных в разделе В.2. При других условиях могут применяться альтернативные модели вычислений, например обобщенный МНК или полиномы Лагранжа.

Далее в тексте детально описаны три примера: "бриджинг", нормализация и "бриджинг" совместно с пошаговой нормализацией. Для методики нормализации среднего l можно считать равным единице. Матрица Y, как описано в В.2.6, имеет только одну строку, содержащую усредненные значения молярной доли для l шагов. Выполнение процедуры "бриджинга", как описано ниже, может быть реализовано в общем случае, только когда выполняется условие выполнения равенства

.

(В.1)

Выполнение процедуры нормализации, как описано ниже, может быть реализовано в общем случае только при условии выполнения равенства

.

(В.2)

В.2 "Бриджинг" - нормализация

В.2.1 Общие положения

Вычисление значений молярной доли и связанных с ними неопределенностей лучше всего можно описать, используя матрицы. Могут быть использованы следующие матрицы:

- : вариационно-ковариационная матрица входных данных (не обязательна для всех исходных значений молярной доли);

- В: матрица, содержащая ограничения;

- А: промежуточная матрица, построенная из и В;

- D: промежуточная матрица;

- Y: матрица, учитывающая исходные значения молярной доли при всех анализах;

- Н: промежуточная матрица, построенная из Y, D и ;

- Z: матрица, содержащая результаты вычислений значений молярной доли после "бриджинга", нормализации и "бриджинга" совместно с нормализацией.

Метод, который может быть применен, идентичен для всех типов вычислений: "бриджинга", нормализации или "бриджинга" совместно с нормализацией, а также для обобщенного МНК и полиномов Лагранжа. Различия заключаются в вариационно-ковариационной матрице, используемой при расчетах, и вспомогательной матрице B, содержащей ограничения.

В.2.2 Построение матрицы

Матрица - это вариационно-ковариационная матрица важных, значимых компонентов анализа. Рассмотрим три различных случая: бриджинг" [формула (В.3)], нормализация [формула (В.4)] и "бриджинг" совместно с нормализацией [формула (В.5)].

;

(В.3)

;

(В.4)

,

(В.5)

где матрицы имеют вид, приведенный в формуле (В.6)

.

(В.6)

Матрица может иметь следующие формы:

a) диагональную;

b) унитарную;

c) блочно-диагональную (с унитарными подматрицами по диагонали и нулями в остальных местах);

d) другую (другие матрицы).

Если является диагональной матрицей [(форма (а)], обобщенный МНК может быть упрощен до метода полиномов Лагранжа. Если имеет место блочно-диагональная форма матрицы [(форма (с)], обобщенный МНК упрощается до метода, описанного в основной части настоящего стандарта.

В.2.3 Построение матрицы В

;

(В.7)

;

(В.8)

.

(В.9)

Матрица В _i имеет вид, приведенный в (В.10)

.

(В.10)

Матрица B _br,0 похожа на матрицу В _br, но столбцы нулей добавляются для небридж-компонентов. Матрица B _norm,1 имеет вид [см. формулу (В.11)] и имеет "1" для каждого небридж-компонента и для каждого первого появления бридж-компонента и "0" в противном случае.

.

(В.11)

В.2.4 Построение матрицы А

Матрица А построена из и В и имеет вид

.

(В.12)

Матрица А представляет собой квадратную матрицу следующих размеров:

- 2n _du,bc - n _bc (для "бриджинга");

- n _i + 1 (для нормализации);

- n _i + 2n _du,bc - 2n _bc + 1 (для "бриджинга" совместно с нормализацией).

В.2.5 Построение матрицы D

Матрица D определяется и имеет вид, приведенный в (В.13)-(В.15):

;

(В.13)

;

(В.14)

.

(В.15)

В.2.6 Построение матрицы Y

Матрица Y определяется с учетом исходных значений молярной доли и имеет вид, приведенный в (В.16)-(В.18):

;

(B.16)

;

(В.17)

.

(В.18)

В.2.7 Построение матрицы H

Дополнительная матрица Н имеет вид

.

(В.19)

Матрица Н имеет l столбцов. Число строк:

- 2n _du,bc - n _bc (для "бриджинга");

- n _i + 1 (для нормализации);

- n _i + 2n _du,bc - 2n _bc + 1 (для "бриджинга" совместно с нормализацией).

В.2.8 Построение матрицы Z

Матрица Z содержит решения (значений молярной доли после "бриджинга", нормализации или "бриджинга" совместно с нормализацией) и может быть рассчитана по формуле

.

(В.20)

Решая уравнение (В.20) для Z, получаем уравнение (В.21)

.

(В.21)

Таким образом, матрица Z определяется и имеет вид, приведенный в (В.22)-(В.24):

;

(В.22)

;

(В.23)

.

(В.24)

В.3 Вычисление неопределенности

Решение уравнения (В.21) (Z = A ^-1 H) требует вычисления матрицы A ^-1 и заканчивается получением матрицы Z. Строки матрицы Z содержат значения молярной доли, полученные в результате "бриджинга", нормализации или "бриджинга" совместно с нормализацией. Первые элементы в диагонали матрицы A ^-1 являются неопределенностями этих значений молярной доли, где равно:

- n _du,bc (для "бриджинга");

- n _i (для нормализации) или

- n _i + n _du,bc - n _bc (для "бриджинга" совместно с нормализацией).