Приложение 4 (справочное). Анализ результатов статистической обработки и принятие решений

Приложение 4

Справочное

Анализ результатов статистической обработки и принятие решений

1. Целью анализа результатов первичной обработки является принятие статистически обоснованных выводов о величинах мю_j - средних для генеральных совокупностей, из которых проводятся выборки объемом n_j, показывающие выборочные средние логарифмы коэффициента проникания X_j. Анализ проводится на основе выборочных статистик X_j; S_j и с учетом величины n (j - индекс вида или элемента СИЗОД).

     2. Сравнение величины  мю  с  постоянной  С  проводится   с  помощью

                            _     _

доверительного   интервала  Х  ;  Х  .   Если    доверительный   интервал

                             н     в

включает в себя постоянную С, принимается решение мю=С. Если постоянная С

находится вне доверительного интервала, принимается решение мю > С или мю

< С. Решение принимается с доверительной вероятностью гамма = 0,95.

Примечание. В качестве постоянных обычно пользуются величинами, выражающими требования стандартов или ТУ к качеству СИЗОД или отдельных его элементов.

3. Сравнение двух величин мю_1 и мю_2 проводится в следующем порядке.

3.1. Вычисляют критерий по формуле

          _    _  2

         (X  - X )

      2    1    2

     t = ---------- n.

           2    2

          S  + S

           1    2

                      2

     3.2. Сравнивают t  с величиной F  (см. табл. 2 настоящего приложения

                                     k

                2                        _     _

при  k=2). При t =< F    различие  между Х   и Х    считают статистически

                     k                    1     2

незначимым и принимают решение мю   = мю   с  доверительной  вероятностью

                                 1      2

                 2

гамма=0,95. При t    > F   принимают решения мю   > мю   или  мю   <  мю

                        k                      1      2         1       2

с доверительной вероятностью гамма=0,95.

     4. Решение о более чем двух мю   принимается в следующем порядке.

                                   i

                                   _

     4.1.  Ряд  средних  величин  {X  }   упорядочивается   по   величине

               _                    j

(ранжируется): X  > Х  > Х  ... > X  .   При  этом  индекс  j  определяет

                1    2    m        n

принадлежность Х   определенной марке (виду, типу) СИЗОД.

                j

4.2. Сравниваются доверительные интервалы [Х_1н; Х_1в]; [Х_2н; Х_2в] ... Если они не перекрываются, можно принять с доверительной вероятностью гамма=(0,95)(k) решение: мю_1 > мю_2 > мю_n _ Если величина гамма является недостаточной или доверительные интервалы для некоторых или всех X_g перекрываются, следует продолжить анализ.

4.3. Проводят проверку стандартных отклонений S_j на однородность. Вычисляют критерий по формуле

     где S     - максимальное стандартное отклонение из S_j. Сравнивают G

          max    с G_0,95(k, n).   Значения G_0,95(k,  n)   приведены   в

                 табл. 1  настоящего приложения.

     При  G  =<  G              стандартные  отклонения   S     считаются

                      (k, n)                               j

                  0,95

однородными и применимы методы, изложенные ниже. При  G  >   G

                                                                  (k, n)

                                                              0,95

стандартные отклонения S   считаются неоднородными и дальнейший анализ не

                        j                                  _

проводится. Полученную  при неоднородных  S   совокупность X   используют

                                           j                j

наравне  с  экспертными оценками (см. п. 5 настоящего приложения).

Таблица 1

n	k
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	0,78	0,60	0,49	0,41	0,36	0,32	0,28	0,26	0,24
20	0,73	0,54	0,43	0,36	0,31	0,27	0,24	0,22	0,20
50	0,62	0,45	0,35	0,29	0,24	0,21	0,18	0,16	0,15
150	0,58	0,40	0,31	0,25	0,21	0,18	0,16	0,15	0,13

4.4. Вычисляют дисперсионное отношение:

Отношение F сравнивают с величиной F_k из табл. 2 настоящего приложения.

Таблица 2

n	k
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	4,4	3,3	2,8	2,6	2,4	2,2	2,2	2,1	2,1
50	3,9	3,1	2,7	2,9	2,2	2,1	2,0	1,9	1,9

                                        _'

     При  F  <=  F    различия  между   X       считаются   статистически

                  k                      j

незначимыми и принимается решение мю   = мю   = ... =  мю .

                                    1      2             k

     При F > F   возможны другие выводы.

              k

     4.5. Определяют стандартное (среднеквадратичное) отклонение среднего

  _

- Sx:

Величины значимых рядов Дункана 3Р_j (k - 1 величина) выписывают из строки k (n - 1) табл. 3 настоящего приложения.

Таблица 3

k (n-1)	k
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
20	2,95
30	2,89	3,04
40	2,86	3,01	3,10	3,17
60	2,83	2,98	3,08	3,14	3,20	3,24	3,28	3,31	3,33
100	2,80	2,95	3,05	3,12	3,18	3,22	3,26	3,29	3,32
бесконеч- ность	2,77	2,92	3,02	3,09	3,15	3,19	3,23	3,26	3,29

                                     _

     Значимые ранги ЗР   умножают на Sх и  получают  наименьшие  значимые

                      j

ранги Р .

       j                                  _   _*

     Сравнивают     разности    дельта  = X - Х       (в    ранжированной

                   _   _   _       _  jl   j   l

последовательности Х > Х > Х ... > Х )  с  соответствующими  рангами. При

                    1   2   3  _    k                          _   _

этом разности стоящих "рядом"  X,   то   есть    дельта      = X - Х

                                                       j(j+1)   j   (j+1)

                                                                _    _

сравнивают с рангом  Р (k-1 сравнение). Разности дельта      = Х - Х

                      1                                j(j+2)   j   (j+2)

(средние "через одну",  k-2  сравнения)  сравнивают  с   Р .     Разности

                                                          2

дельта       сравнивают с Р (k-3 сравнения) и так далее  до дельта     (1

      j(j+3)               3                                      jk

сравнение) с Р   . Например, для k=4:

              k-1

     дельта

           12                     дельта

     дельта   }  сравнение с Р          13 }  с Р  дельта   с Р .

           23                 1   дельта         2       14    3

     дельта                             24

           34

     Разности, превышающие соответствующие ранги или равные им, считаются

статистически значимыми  с  доверительной  вероятностью  гамма=0,95.  Для

        _

средних X , составляющих значимые  разности,  устанавливают   отношение >

         j

"больше". Например, при дельта  >= Р  с гамма=0,95 считают мю > мю .

                              23    1                        2    3

Совокупность статистически значимых отношений > или, что то же самое, разностей дельта_jl содержит в себе всю информацию, которую можно использовать для решений о взаимных соотношениях мю_j. Эта информация может быть представлена в виде матрицы или диаграммы. Пример матрицы для k=4 приведен в табл. 4 настоящего приложения.

Таблица 4

Гамма	j
	1	2	3	4
4	А	A	Б
3	А	A	-	-
2	Б	-	-	-
1	-	-	-	-

Примечание. Знак "А" соответствует дельта >= Р_j; знак "Б" соответствует дельта < Р_j.

На чертеже а представлен случай для k=5, когда можно (статистика достаточна) принимать решение мю_1 > мю_2 > мю_3 > мю_4 > мю_5. На чертеже б представлен случай для k=4, когда статистика недостаточна для такого вывода и можно принять только решение мю_1 и мю_2 > мю_3 и мю_4, то есть: показатели качества СИЗОД или отдельных его элементов с индексами 1 и 2 больше показателей их качества с индексами 3 и 4, но для решения о различиях в их качестве 1 и 2 (3 и 4) информации недостаточно (мало n или мю_1 = мю_2).

5. Совместное рассмотрение (объединение) результатов различных испытаний или испытаний, проведенных различными методами, в различных лабораториях, по различным показателям качества и т.д., проводится в следующем порядке.

     5.1. Ранжируют результаты  каждого  испытания  так,  чтобы  во  всех

                                                                  _

ранжировках  наихудший (наилучший) выборочный показатель качества Х   был

                                                                   j

минимальным (или максимальным).

Например, ранжировка для логарифма среднего геометрического коэффициента проникания респиратора имеет вид

                 _        _        _

     lg К   > lg К   > lg К   > lg К   .

         g        g        g        g

          2        1        4        3

5.2. В зависимости от положения в соответствующей ранжировке каждому j-му СИЗОД или отдельному его элементу приписывают ранг, равный его порядковому номеру (но не его индексу j!) в ранжировке.

                             _          _          _         _

     Например: ранжировка lg К  <    lg К  <    lg К  <   lg К   ;

                              g          g          g         g

                               2          1          4         3

               ранг          1          2          3         4;

                                 _          _          _          _

               ранжировка дельта Р > дельта Р > дельта Р > дельта Р ;

                                  1          2          4          3

               ранг          1          2          3         4

               и т.д.

5.3. Проверяют согласованность различных ранжировок. При более чем двух ранжировках вычисляют коэффициент конкордации по формуле

     где k  - количество испытываемых марок СИЗОД или их элементов;

         N  - количество ранжировок;

         Р  - ранг СИЗОД или его элемента с индексом j в ранжировке l.

          jl

При W=1 все ранжировки строго согласованы. При W < 1 величину F вычисляют по формуле

         (k - 1) W

     F = ----------

           1 - W

и сравнивают с F_0,95. Величина F_0,95 приведена в табл. 5. При F >= F_0,95 с доверительной вероятностью гамма=0,95 ранжировки считают согласованными и допускающими усреднение.

Примечания:

1. При k=2 должно быть N > 4.

2. При k=3 должно быть N >= 3.

3. При k=4 коэффициент конкордации применим к любому N.

Таблица 5

N	k
	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3		19,0	6,94	5,14	4,46	4,10	3,89	3,74	3,63
4	216	6,59	4,35	3,11	3,41	3,24	3,13	3,05	2,99
5	19,3	4,53	3,48	3,11	2,99	2,82	2,74	2,69	2,66
6	9,01	3,69	3,03	2,77	2,64	2,56	2,51	2,47	2,44
7	6,16	3,22	2,74	2,55	2,45	2,40	2,34	2,41	2,29
8	4,88	2,91	2,54	2,39	2,30	2,25	2,22	2,19	2,17
9	4,15	2,70	2,40	2,27	2,18	2,16	2,13	2,10	2,08
10	3,68	2,54	2,28	2,17	2,12	2,08	2,04	2,03	2,02
15	2,62	2,07	1,92	1,86	1,82	1,80	1,78	1,76	1,75
20	2,23	1,89	1,76	1,73	1,70	1,67	1,65	1,63	1,61

Для двух ранжировок можно вычислить также коэффициент ранговой корреляции по формуле

     где Р   - ранг j-й СИЗОД в первой ранжировке;

          j1

         Р   - то же для второй ранжировки.

          j2

Критические величины R_крит. при доверительной вероятности 0,95 показаны в табл. 6. При R > R_крит. ранжировки можно считать согласующимися.

Таблица 6

k	6	7	8	9	10
R_крит.	0,886	0,786	0,738	0,683	0,648

     При низкой величине коэффициента конкордации целесообразно с помощью

N (N - 1)

--------- парных коэффициентов ранговой корреляции R выделить  ранжировки

    2

c минимальными R и  снова  вычислить  W  для оставшихся  ранжировок. Если

перерасчет показывает достаточно высокий W, оставшиеся ранжировки считают

                                                 _    1     N

согласованными и допускающими усреднение рангов: Р = ---  Сумма Р  .

                                                  j   N    i=1   jl

Усредненные ранги Р_j используют для построения новой ранжировки, которая позволяет расположить все подвергавшиеся испытаниям (экспертной оценке) СИЗОД или отдельные элементы в ряд "по качеству", учитывающему все показатели, использованные в объединяемых ранжировках (оценках отдельных экспертов).

5.4. Если ранжировки, построенные по результатам различных испытаний, согласуются по п. 5.3 настоящего приложения, то кроме усреднения рангов по п. 5.3 настоящего приложения допускается усреднить сами характеристики, по которым установлены ранги. Усреднение проводится следующим образом:

         _

     где X    - характеристика j-го СИЗОД или его элемента, измеренная  в

          jl    l-испытании;

                                     _

          n   - количество измерений X  в l-испытании;

           1                          j

                                 _

     После усреднения  величины  Х      и  S       обрабатывают   по   п.4

                                  обj       обj

настоящего приложения при

             N

     n   = Сумма n .

      об    l=1   1

6. Обозначения, используемые в настоящем приложении:

     Х     - величина, подвергаемая статистической обработке;

     ш     - индекс экземпляра СИЗОД, единичного измерения; 1 <= i <= n;

     j     - индекс серии измерений типа СИЗОД; 1 <= j <= k;

     n     - количество измерений в серии;

     k     - количество серий измерений;

     гамма - доверительная   вероятность,   двусторонняя   доверительная

             вероятность;

     d     - модуль отклонения i-го измерения от средней величины;

      i

     S     - стандартное (среднеквадратичное) отклонение;

                                                             1

     дельта - полуразмах доверительного интервала; дельта = --- (Х - Х );

                                                             2    в   н

     _

     Х - верхняя граница доверительного интервала для средней величины X;

      в

     _

     Х - нижняя граница доверительного интервала;

      н

     Х     - среднее геометрическое для серий измерений;

      g

     бета  - стандартное геометрическое отклонение;

         g

     мю  - среднее для генеральной совокупности j-й случайной величины

       j                            _

           (математическое ожидание X );

                                     j

     С     - постоянная;

     t     - критерий Стьюдента;

     G     - критерий Кохрена;

     F     - критерий Фишера;

     S     - стандартное (среднеквадратичное) отклонение среднего;

      x

     S     - стандартное отклонение внутрисерийное;

      вс

     S     - стандартное отклонение межсерийное;

      мс

     3Р    - значимый ранг Дункана; 1 <= j <= (k - 1);

       j

     P     - наименьший значимый ранг Дункана;

      j

                        _    _

     дельта  - разность X  - Х ,

           jl            j    l

     W     - коэффициент конкордации;

     l     - индекс ранжировки;

     Р     - ранг j-го СИЗОД в l-ранжировке;

      jl

     R     - коэффициент ранговой корреляции;

     об    - индекс общего усреднения.

______________________________

                                          _    _    _        _

     * В ранжированной последовательности Х  > Х  > Х  ... > Х .

                                           1    2    3        k