Приложение Б (обязательное). Алгоритмы расчета напряжений и смещений в двухслойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при гладком контакте слоев

Приложение Б
(обязательное)

Алгоритмы расчета напряжений и смещений в двухслойной упругой среде, нагруженной на поверхности осесимметричным штампом с нормальной нагрузкой при гладком контакте слоев

Б.1 Общие сведения

Следуя методике, предложенной в работе [6], бигармонические функции , i = 1, 2 представляются несобственными интегралами, в которых фигурируют функции (формулы Б.1 и Б.2):

, (Б.1)

, (Б.2)

зависящие от переменной интегрирования и от параметров задачи p, , , , , h, (рисунок Б.1):

Функции , , , , подлежат определению из условий (2) - (9), (12), (13). На рисунке (Б.1) и далее используются обозначения , для функций Бесселя первого рода нулевого и первого порядков, зависящих от аргумента .

Несобственные интегралы (рисунок Б.1) допускают дифференцирование под знаком интеграла по переменным r, z и после подстановки в соотношения (2) - (7) приводят в каждом слое к представлениям для напряжений и смещений, участвующих в граничных условиях (12), (13) и просто формирующих напряженно-деформированное состояние упругой среды (рисунки Б.2-Б.13):

Б.2 Общая схема решения задачи

Общая схема решения задачи (1), (8), (9), (12), (13). Подынтегральные выражения на рисунке (Б.1) образованы из решений бигармонического уравнения (1) таким образом, что представления (Б.2) для нормальных напряжений , i = 1, 2 и выражения (Б.8) для касательных напряжений , i = 1, 2 при любом выборе функций , , , (корректном с точки зрения сходимости интегралов) обеспечивают выполнение условий равенства напряжений (12) на границе слоев. Четыре искомых функции , , , подлежат определению из трех оставшихся граничных условий (8), (9), (13) и четвертого уравнения, вытекающего из равенства нулю касательных напряжений в условии (12). Каждое из перечисленных ограничений приводит к линейному алгебраическому уравнению относительно неизвестных функций. Кроме того, приравнивая нулю касательные напряжения на границе слоёв, получим, что первая искомая функция тождественно равна нулю: .

Решение полученной таким образом системы из трех линейных алгебраических уравнений разбивается на два этапа. Вначале, используя два условия (9) и (13), выразим функции , через оставшуюся функцию (рисунок Б.14):

Затем, используя соотношения (Б.14) и условие (8) на поверхности упругого полупространства, получим уравнение для оставшейся функции . При этом для ступенчатой правой части равенства (8) используется интегральное разложение по функциям Бесселя (формула Б.3):

(Б.3)

Решение упомянутого уравнения приводит к следующему виду искомой функции (рисунок Б.15):

Подстановка выражения (Б.15) в формулы (Б.14) позволяет получить представления для функций , , а затем из формул, представленных на рисунках (Б.2) - (Б.13) пригодные для численных расчетов интегральные формулы для напряжений и смещений в заданной точке упругой среды.