Приложение А (справочное). Сравнение робастности систем с использованием отношения SN

Приложение А
(справочное)

Сравнение робастности систем с использованием отношения SN

А.1 Определение оценки робастности концепций проекта

А.1.1 Общие положения

Как отмечалось в разделе 6, параметрическое проектирование может оптимизировать одну концепцию проекта, размещая много параметров проекта в качестве управляемых факторов во внутренней ортогональной таблице. Однако при разработке продукции необходимо сравнивать робастности различных концепций проекта. Например, надо проводить бенчмаркинг проектов конкурентов и своего собственного проекта на робастность.

В таких случаях, пока продукция имеет одну и ту же функцию (даже если есть множество систем, основанных на различных концепциях проектов), можно сравнивать различные концепции проектов. Процедуру, описанную в разделе 5, можно применять для оценивания робастности. В основном для каждой концепции проекта можно оценивать отношение SN и чувствительность при заданной стратегии управления шумом для общей идеальной функции.

В следующих подразделах приведены два примера.

А.1.2 Первый пример: Оценивание робастности механических деталей

В качестве примера рассмотрено оценивание робастности шариков для подшипников. Эти шарики обеспечивают вращение деталей в различных механических изделиях, где они выполняют задачу (целевую функцию) поддержания плавного вращения вала. Принято решение оценивать плавность вращения с помощью, например, сенсора для прослушивания шума вращения или слышимого шума. Однако в данном примере гладкость вращения оценивается на основе функции вращения шариков, как описано ниже.

Соотношение вход-выход для шарикоподшипника можно идентифицировать следующим образом. Пусть вход - это предварительная нагрузка, а отклик - крутящий момент, тогда крутящий момент должен быть пропорционален прилагаемой предварительной нагрузке М. Тогда идеальной функцией является пропорциональная с нулевой точкой

,

(А.1)

где у и М - крутящий момент и предварительная нагрузка соответственно.

Если крутящий момент остается низким и стабильным в течение всего времени использования, то подшипник является достаточно робастным и может еще обеспечить низкий уровень проблем с качеством, таких как слышимые шумы, вибрация и низкая надежность. Поэтому соотношение между крутящим моментом и предварительной нагрузкой было выбрано в качестве функции подшипника. Используя предварительную нагрузку как входной сигнал, для крутящего момента, который может при этом меняться, были выбраны три уровня М ₁ = 20 (), М ₂ = 30 () и М ₃ = 40 (), покрывающие диапазон, встречающийся в использовании подшипников.

Факторы, вызывающие вариабельность и неэффективность этой функции, являются факторами шума. Здесь в качестве факторов шума выбраны скорость вращения и время холостого хода. Эти факторы оказывают большое влияние на деградацию подшипников. Их принимали во внимание при оценивании робастности. Для скорости вращения выбрано два уровня: 1 мин ^-1 и 3 мин ^-1. Для времени холостого хода выбрано тоже два уровня: начальная точка и через минуту после старта. Затем из этих уровней шума составили две комбинации: одну, оказывающую относительно слабое влияние на деградацию подшипника (относительно низкий крутящий момент), и другую, достаточно сильно влияющую на деградацию подшипника (относительно большой крутящий момент).

N1: Комбинация низкой скорости и короткого времени (1 мин ^-1 и отсутствие холостого хода).

N2: Комбинация высокой скорости и продолжительного времени (3 мин ^-1 и холостой ход в течение 1 мин после старта).

Если известны направления влияния каждого фактора шума на отклик, можно уменьшить число опытов с помощью объединения условий шума в один фактор шума. Кроме того, условия шума не должны быть одного происхождения или такими же, как условия стандартных испытаний или ресурсных испытаний продукции. Стратегия управления шумом должна быть разработана так, чтобы она стала результативной и эффективной. Что касается скорости вращения, то не следует проводить оценивание при высоких скоростях вращения, принятых на практике; можно проводить оценивание в тех же условиях. Набор данных по крутящему моменту показан в таблице А.1 для примера с двумя вариантами проекта А и В. На рисунке А.1 приведен график, построенный по этим данным.

Таблица А.1 - Результаты измерений крутящего момента,

Вариант проекта		M 1	M 2	M 3
		20	30	40
Проект А	N 1	15,0	25,5	39,0
	N 2	28,5	49,5	65,5
Проект В	N 1	13,5	24,5	42,5
	N 2	42,0	65,0	92,5

Рисунок А.1 - Точечный график измеренных данных

Идеально, если крутящий момент пропорционален предварительной нагрузке, а влияние шума отсутствует. Отклики для N ₁ и N ₂ должны быть одинаковыми, если фактор шума не влияет. На практике, как видно из рисунка А.1, крутящий момент не обязательно пропорционален предварительной нагрузке, а эффект шума - значим. Отношение SN характеризует пропорциональность и то, насколько мал эффект фактора шума, то есть является оценкой робастности. Мерой чувствительности в данном случае не является угловой коэффициент прямой . В этом случае чувствительностью является отношение единицы крутящего момента к единице предварительной нагрузки, эта величина эквивалентна коэффициенту трения. Соответственно, если комбинация отношения SN и чувствительности получена на основе одних и тех же условий шума для двух вариантов проекта А и В, то различия в робастности между проектами А и В могут быть представлены количественно.

Отношение SN и чувствительность необходимо вычислять по данным таблицы А.1 следующим образом. Ниже показаны вычисления для проекта А.

Общая сумма квадратов

.

Сумма квадратов уровней входного сигнала/эффективный делитель

.

Линейные формы для каждого уровня шума:

.

Сумма квадратов, обусловленная угловым коэффициентом прямой

.

Сумма квадратов, обусловленная дисперсией углового коэффициента прямой между уровнями шума N ₁ и N ₂

.

Сумма квадратов, обусловленная ошибкой

.

Дисперсия, обусловленная ошибкой/дисперсия ошибки

.

Дисперсия, обусловленная объединенной ошибкой

.

Здесь V _e представляет дисперсию, обусловленную эффектами более высоких порядков, чем линейный эффект в N ₁ и N ₂, или дисперсию, обусловленную отклонениями от пропорциональной зависимости вход-выход в N ₁ и N ₂. A V _N представляет дисперсию, обусловленную разностью между N ₁ и N ₂, плюс дисперсию, обусловленную ошибкой и/или эффектами высших порядков.

Отношение SN и чувствительность:

.

Аналогично проводятся вычисления для проекта В. Все результаты приведены в таблице А.2.

Таблица А.2 - Результаты расчетов отношений SN и чувствительности и сравнительная оценка проектов А и В, дБ

Параметры проектов	Проект А	Проект В	Прирост
Отношение SN	- 19,82	- 23,09	3,27
Чувствительность	1,99	4,00	- 2,01

Из результатов видно, что отношение SN и чувствительность для проекта А на 3,27 дБ больше и на 2,01 дБ меньше, чем для проекта В. По шкале антилогарифмов прирост в 3,27 дБ эквивалентен множителю 2,12, из чего можно заключить, что робастность проекта А примерно вдвое выше, чем проекта В.

Также антилогарифм прироста чувствительности, равного - 2,01 (дБ), - это 0,63, а корень квадратный из него равен 0,79. Это говорит о том, что среднее значение крутящего момента для проекта А примерно на 20 % ниже, чем для проекта В при тех же предварительных нагрузках.

Различия двух проектов А и В в робастности можно выразить количественно приростами отношения SN и чувствительности. Более того, основываясь на результатах бенчмаркинга, можно сказать, что если целевыми значениями нового изделия, например, являются значения SN 20 дБ, а чувствительности 2,0 дБ, то проект А удовлетворяет требованиям, а проект В - нет.

А.1.3 Второй пример: Оценивание робастности измерительной системы

Измерительную систему можно определить так, чтобы она имела идеальную функцию с пассивным сигналом, выражаемую функцией у = M, где М (измеряемая величина) является пассивным сигналом, а у - значение, определяемое с помощью измерительной системы. Сигнал в этом случае называется пассивным, в отличие от активных сигналов. Например, при ручном управлении автомобилем поворот руля на определенный угол является активным сигналом, поскольку пользователь манипулирует углом и меняет его значение, чтобы обеспечить желаемый радиус поворота машины. Отклик - радиус поворота - важен для пользователя. В случае измерительной системы значение входного сигнала (измеряемая величина) уже задана до начала измерения, и это именно то, что пользователь хочет узнать. Функция измерительной системы - воспроизведение значения входного сигнала на основе отклика индикаторного вида. Поэтому такого рода сигналы называются пассивными.

Пример оценивания робастности трехкоординатной измерительной машины.

Трехкоординатные измерительные машины широко используют для измерений за пределами измерительных лабораторий. Условия использования этих машин различны при каждом измерении. Сенсор, присоединенный к измерительной машине, важен для обеспечения точности измерений и для удовлетворения требования адекватности результатов в любых условиях. Оценивание робастности применяется для выбора подходящего сенсора из трех видов, имеющих различные конструкции.

Традиционный метод включает получение результатов повторных измерений при некотором наборе условий использования и вычисление стандартного отклонения для определения величины ошибки измерений машины. В этом методе нельзя определить робастность для других условий использования, поэтому невозможно гарантировать, сохранятся ли полученные результаты для иных условий использования.

В противоположность этому в данном примере представлен метод оценки общей робастности измерительной системы для множества условий измерений, рассматриваемых как условия шума. Функция измерительной системы, включая сенсор, выражается как пропорциональная с нулем у = M, где М - значение измеряемой величины, а у - значение, показанное измерительной системой. Робастность измерительной системы выражается малой вариацией пропорционального отношения в различных условиях шума, что означает низкую ошибку измерений в условиях эксплуатации.

Сначала условия использования, такие как скорость измерения, угол поворота объекта и т.п., изучали при выбранных факторах шума. В результате выбраны четыре фактора шума, каждый на трех уровнях. Эти четыре фактора на трех уровнях были помещены в ортогональную таблицу L ₉, в которой построены девять вариантов условий шума. Когда многие факторы шума доминируют и не ясно, стоит их объединять или нет, рекомендуется помещать их в ортогональную таблицу.

Далее для фактора сигнала М выбраны три разных испытательных образца, для которых уже известны значения с удовлетворительной неопределенностью, чтобы задать три уровня фактора сигнала, как показано в таблице А.3.

Таблица А.3 - Уровни фактора сигнала и результаты измерений для сенсора А, мм

Вариант факторов шума	М 1	М 2	M 3
	9,999 6	109,998 9	209,999 2
N 1	9,999 0	109,998 9	210,000 1
N 2	9,998 7	109,999 1	210,000 6
N 3	9,998 0	109,998 6	209,999 6
N 4	9,999 1	109,998 7	210,000 3
N 5	9,997 0	109,997 0	209,997 8
N 6	9,998 9	109,998 8	210,000 0
N 7	9,997 3	109,997 1	209,998 8
N 8	10,000 6	110,000 5	210,002 3
N 9	10,000 0	109,999 9	210,001 4

Проведены измерения для этих факторов с тремя разными сенсорами А, В и С и сопоставлены робастности этих трех сенсоров. В таблице А.3 показаны результаты измерений для сенсора А. Используя  = 27 данных для трех уровней пассивного сигнала и девяти шумовых условий из L ₉, вычислены отношение сигнал/шум и чувствительность.

Общая сумма квадратов

.

Сумма квадратов уровней входного сигнала/эффективный делитель

.

Линейные формы для каждого уровня шума:

,

.

Сумма квадратов, обусловленная угловым коэффициентом прямой

.

Сумма квадратов, обусловленная различием угловых коэффициентов прямой между уровнями шума

.

Сумма квадратов, обусловленная ошибкой

.

Дисперсия ошибки/дисперсия, обусловленная ошибкой

.

Дисперсия, обусловленная объединенной ошибкой

.

Отношение сигнал/шум и чувствительность

.

Аналогичные вычисления выполнены для сенсоров В и С. Отношение сигнал/шум очень важно для измерительных систем, поскольку оно показывает величину ошибки измерений. Однако для чувствительности это не так, она легко может быть откалибрована, т.е. например к измерительной системе легко можно применить двухэтапную оптимизацию.

В таблице А.4 приведены отношения SN для трех сенсоров. Из этих результатов следует, что сенсор А лучше, чем сенсор В, на 3,14 дБ и лучше, чем сенсор С, на 8,93 дБ. Отсюда следует, что после калибровки стандартное отклонение ошибки измерений для сенсора А будет в 0,68 раз меньше, чем для сенсора В, и в 0,35 раз меньше, чем для сенсора С. Используя такого рода оценки, можно непосредственно оценить робастность измерительной системы.

Таблица А.4 - Результаты расчетов отношений SN, дБ

Сенсор	А	В	С
Отношение SN	57,57	54,43	48,64

А.2 Конфигурации внутреннего плана, отличные от ортогональной таблицы

В соответствии с разделом 6 параметрическое планирование экспериментов включает большое число параметров проекта (управляемых факторов), эти параметры проекта располагались во внутренней ортогональной таблице, чтобы образовать план эксперимента. Даже если у проекта есть четыре или меньше параметров, их можно поместить в ортогональную таблицу, но можно перебрать все возможные комбинации вместо ортогональной таблицы. Это называется многовходовой конфигурацией или полным факторным планом.

В любом случае важно рассматривать управляемые факторы одновременно в одном эксперименте так, чтобы каждый уровень фактора оценивался при различных комбинациях уровней других факторов, а не при постоянных условиях.

Пусть, например, два управляемых фактора А и В имеют по два уровня, а фактор С имеет три уровня. В таком случае полный факторный план будет содержать следующие  = 12 комбинаций уровней факторов:

N 1: А1В1С1

N 2: А1В1С2

N 3: А1В1С3

N 4: А1В2С1

N 5: А1В2С2

N 6: А1В2С3

N 7: А2В1С1

N 8: А2В1С2

N 9: А2В1С3

N 10: А2В2С1

N 11: А2В2С2

N 12: А2В2С3

Оценку робастности можно получить для каждой комбинации, в результате будет получено 12 отношений сигнал/шум и чувствительностей. Для определения факторных эффектов каждого параметра вычисляют средние значения для каждого уровня управляемого фактора.

Вычисления те же, что и в разделах 5 и 6 настоящего стандарта.