Вероятностная модель ставки дисконтирования денежных потоков (Д.М. Андреев, "Аудиторские ведомости", N 9, сентябрь 2002 г.)

Вероятностная модель ставки дисконтирования денежных потоков

В основе анализа эффективности инвестиций и оценки недвижимости в рамках доходного подхода лежит такой инструмент, как ставка дисконтирования денежных потоков.

В настоящее время не представляется возможным назвать какие-либо прямые методы для вычисления соответствующих ставок по интересующим инвестора отраслям бизнеса на основании доступной рыночной информации. Метод анализа альтернативных инвестиций практически не применим. Иные методы носят косвенный характер, так как не используют непосредственно рыночную информацию, а больше опираются на субъективные суждения лица, принимающего решения (например, оценщика).

В связи с этим предлагается интерпретировать ставку дисконтирования, как числовую характеристику случайной величины. Такой случайной величиной, очевидно, является внутренняя ставка дохода (internal rate of return, IRR) каждого конкретного инвестиционного проекта в исследуемой области бизнеса. Действительно, наличие риска неполучения желаемых доходов означает, что сам доход является случайной величиной. Поэтому IRR также есть случайная величина, так как является мерой дохода каждого инвестиционного проекта. Ввиду этого для исследования и оценки ставки дисконтирования могут быть применены методы математической статистики и теории вероятностей. Однако простое определение ставки дисконтирования через математическое ожидание IRR не обоснованно, так как не учитывает безрисковую ставку и риск инвестиций.

Представим ставку дисконтирования суммой:

      i = c + sc,                              (1)

где c - константа,

sc - некоторая случайная величина (оценка случайной величины).

Интерпретируем величины c и sc в терминах безрисковых ставок и премий за риск: с - безрисковая ставка, sc - случайная величина (оценка случайной величины), являющаяся мерой рассеяния значений IRR вокруг точки c.

По аналогии со средним эмпирическим квадратическим отклонением величину sc можно определить как корень квадратный математического ожидания (средней величины) квадратов отклонений IRR как случайной величины от константы c (безрисковой ставки).

Поскольку вычисление IRR, как и построение самой ставки дисконтирования при традиционных подходах, является во многом эвристической процедурой, то необходимо от выражения (1) перейти к выражению, позволяющему оценивать ставку дисконтирования на основании доступных данных, например, используемых для целей финансового анализа (формы N 1, 2 бухгалтерской отчетности).

Конкретно возможно использовать сумму средней рентабельности собственного капитала по исследуемой отрасли бизнеса плюс эмпирическое среднее квадратическое отклонение данного показателя.

Основываясь на свойстве минимальности эмпирической дисперсии, для практического использования предлагается выражение (2), эквивалентное (1):

         _

     i = rск + s, (2)

         _

     где rск - несмещенная оценка математического ожидания рентабельности

собственного капитала (средняя величина рентабельности),

s - эмпирическое среднее квадратическое отклонение рентабельности собственного капитала.

Важно отметить, что применение данных о рентабельности собственного капитала дает возможность построить оценку именно ставки дисконтирования, а не коэффициента капитализации. Это обусловлено тем, что бухгалтерская чистая прибыль не включает фонд амортизации капитала.

Выбор для оценки ставки дисконтирования вместо IRR показателя рентабельности собственного капитала, конечно, не лишен недостатков, поскольку чистая прибыль, будучи статичным показателем, является лишь оценкой размера денежных потоков и не учитывает их динамики. Итог третьего раздела бухгалтерского баланса "Капитал и резервы" (стр.490 формы N 1 бухгалтерской отчетности) также весьма условно может оценивать инвестированный капитал. Это связано с тем, что в балансе не находят отражения операции по смене собственников предприятия, кроме того, предприятия не обязаны регулярно осуществлять переоценку активов, что оказывает влияние на размер добавочного капитала. Однако простота получения рыночной информации (причем в достаточном объеме) для расчета ставки дисконтирования по предложенной модели, на наш взгляд, является серьезным аргументом против традиционно используемых умозрительных алгоритмов.

Вероятностный подход может быть также использован при определении ставки дисконтирования экспертными методами.

Определение ставки дисконтирования кумулятивным методом, как показывает практика, производится двумя основными приемами, а именно:

суммированием абсолютных значений поправок на отдельные виды рисков, назначаемых без какого-либо серьезного обоснования, а часто вообще без обоснования;

с применением табличной формы, в которой определяются ранги (веса) поправок; причем как каждая поправка на отдельные виды рисков, так и итоговая поправка, учитывающая все риски, нормируются в одной и той же выбранной оценщиком шкале.

Указанные приемы страдают определенным субъективизмом. Кроме того, никак не учитывается возможная корреляция факторов риска. Как известно, абсолютная погрешность суммы параметров равна корню квадратному из суммы квадратов погрешностей. Таким образом, абсолютная погрешность суммарного показателя возрастает по мере увеличения числа слагаемых, если одновременно не возрастает точность измерений (экспертных оценок) показателей. Вопросами точности экспертных оценок, как показывают отчеты, оценщики практически не занимаются. Поэтому вызывает сомнение, что увеличение числа факторов риска приводит к увеличению точности итоговой поправки на риск.

Для решения этой проблемы некоторые оценщики используют нормирование оценок рисков в единой шкале. При этом получается, что диапазон шкалы априори ограничивает суммарную поправку. Кроме того, это означает осреднение степени влияния каждого фактора риска, т.е. каждый балл любого фактора риска "весит" одинаково. Такие предпосылки, по нашему мнению, должны тщательно обосновываться.

Мы предлагаем иной подход к определению поправки на риск, который основывается на интерпретации поправки на риск как характеристики случайной величины, а именно премий за риск конкретных инвестиций в исследуемой области бизнеса. Другое предположение состоит в том, что премия за риск как случайная величина имеет нормальный закон распределения. При этом эксперт должен определить только максимальную и минимальную возможные поправки.

Кстати, учитывая, что безрисковая ставка является константой, можно использовать оценку экспертом диапазона изменения IRR каждого конкретного инвестиционного проекта в исследуемой области бизнеса. В этом случае приходим к определению непосредственно ставки дисконтирования.

В предлагаемом нами подходе используются традиционные характеристики случайной величины - математическое ожидание и дисперсия (среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание оценивается средней арифметической. Оценка среднего квадратического отклонения составит в случае нормально распределенной величины 1/6 от разницы между максимальной и минимальной ставками премии за риск или IRR. Логика здесь состоит в том, что риск выражается через рассеивание случайной величины относительно ее математического ожидания. Поэтому к среднему значению следует прибавить меру рассеивания.

При нормальном распределении случайной величины в интервал [M(x) + сигма x] попадает около 2/3 всех значений. Разумный продавец не будет, по нашему мнению, ориентироваться на исключительные случаи при рассмотрении вопроса о возможных премиях за риск, которые соответственно снижают стоимость его имущества. Мы полагаем, что исключение из рассмотрения примерно 30% крайних случаев является оптимальным для принятия взвешенного решения.

Анализ некоторых отчетов об оценке показывает, что, расставляя ранги факторам, влияющим на риск, оценщики моделируют в итоге нормально распределенную величину. Этот результат свидетельствует о том, что на самом деле какая-либо экспертиза на уровне отдельных факторов риска у большинства оценщиков отсутствует вовсе либо факторы рисков находятся в отрицательной корреляционной зависимости. Действительно, известно, что при сложении достаточно большого числа независимых случайных величин получается случайная величина, распределенная приближенно по нормальному закону. Так, уже при сложении всего шести равномерно распределенных случайных величин получается случайная величина, распределенная по нормальному закону с достаточно большой точностью.

Пример. Оценщик использовал 23 вида риска. Количество рангов (весов) 10, от 1% с шагом 1%. Оценщик определил поправку в размере 6,65% путем деления общей суммы весов (153%) на количество видов риска.

Теперь применим наш подход: (10% + 1%) / 2 + (10% - 1%) / 6 = 7%.

Оценка математического ожидания M(x) = 5,5%.

Оценка среднего квадратического отклонения сигма x = 1,5%.

Интервал, в который значения суммарной премии за риск попадают с вероятностью 0,6827, - 4% - 7%.

Отметим еще один результат предложенного метода. Он исключает ситуации, когда некачественная экспертиза факторов, влияющих на риск, приводит к тому, что фактически определяется не премия за риск, а штраф.

На самом деле с экономической точки зрения имеет смысл рассматривать не интервал [M(x) + / - сигма x], а лишь интервал [M(x),M(x) + сигма x]. Действительно, разумно желание инвестора иметь гарантии, что он получит среднюю премию (среднюю IRR) за риск в той сфере, куда он осуществляет инвестиции. В качестве такой гарантии, с нашей точки зрения, и может расцениваться поправка + сигма x.

Д.М. Андреев,

директор ЗАО "Служба бухгалтерской экспертизы и аудита"

"Аудиторские ведомости", N 9, сентябрь 2002 г.