Приложение 3. Дополнительные темы по математике в классах Проекта

Приложение 3
к Стандарту городского
образовательного проекта
"Московские математические
классы"

Дополнительные темы
по математике в классах Проекта:

- Логика и теория множеств. Перечислительная комбинаторика: основные принципы подсчета, сочетания, сочетания с повторениями, комбинаторные тождества, пошаговое конструирование и индукция.

- Анализ информации; итерации.

- Теория графов (формулировка задач на языке графов, лемма о рукопожатиях, изоморфизм графов, связные компоненты, деревья, остовы, ориентированные графы, эйлеровы графы, гамильтоновы графы, плоские графы и формула Эйлера, приложения к многогранникам).

- Метод траекторий, числа Каталана и диаграммы Юнга, разбиения чисел, производящие функции.

- Группы перестановок: определение, разложение в независимые циклы, транспозиции, знак перестановки, приложения перестановок. Группы преобразований. Орбиты и стабилизаторы.

- Делимость целых чисел. Поле вычетов. Конечные поля и конечные арифметики.

- Вероятностные тесты на простоту.

- Алгебра многочленов. Разложение многочленов на неприводимые множители и основная теорема арифметики для многочленов. Симметрические функции, основная теорема о симметрических функциях.

- Комплексные числа, алгебраическая и тригонометрическая формы. Корни из единицы. Гауссовы числа и их применения. Основная теорема алгебры.

- Построение правильных n-угольников с помощью циркуля и линейки.

- Элементы конечной теории вероятностей: условная вероятность, вероятностные пространства, матожидание и дисперсия, их свойства.

- Замечательные точки треугольника (Нагеля, Микеля, Жергонна и др.).

- Замечательные линии треугольника (окружность девяти точек, прямые Эйлера, Симсона, Гаусса, Ньютона, Штейнера и др.).

- Теоремы Чевы и Менелая.

- Геометрия масс и барицентрические координаты.

- Степень точки. Радикальная ось, радикальный центр трех окружностей. Радикальная плоскость двух сфер.

- Движения плоскости и пространства. Теорема Шаля.

- Поворотная гомотетия и ее применение.

- Инверсия на плоскости и в пространстве и ее свойства. Стереографическая проекция.

- Теорема Фейербаха.

- Аффинные преобразования плоскости. Решение задач с помощью аффинных преобразований.

- Двойное отношение и начала проективной геометрии. Теоремы Паппа и Дезарга. Проективные преобразования. Решения задач с помощью проективных преобразований.

- Полюс и поляра. Антипараллельность и симедиана. Изогональное сопряжение и его свойства.

- Коники (кривые второго порядка). Теоремы Паскаля и Брианшона.

- Классификация кривых второго порядка.

- Сферы Данделена и конические сечения.

- Сферическая геометрия.

- Геометрия на решетках, формула Пика и теорема Минковского.

- Группа симметрии. Симметрия фигур. Симметрия правильных многогранников.

- Множества и характеристические функции, отношения эквивалентности, классы вычетов.

- Равномощность. Счетные множества. Бесконечные графы. Несчетные множества, теорема Кантора-Бернштейна.

- Неравенства и оценки в анализе. О-символика.

- Вещественные числа. Последовательности бесконечно малые и бесконечно большие. Предел последовательности и критерий Коши.

- Комплексные числа как преобразования плоскости и их приложения к геометрии.

- Аксиомы поля. Конечные поля. Порождающие элементы. Упорядоченные поля.

- Аксиома полноты. Точная верхняя грань. Компактность отрезка.

- Дедекиндовы сечения.

- Топология прямой: открытые и замкнутые множества, всюду плотные множества, множества меры ноль, канторово множество.

- Плотные множества и бильярды, теоремы о кузнечиках.

- Предел функции. Непрерывность по Коши и по Гейне. Теорема о промежуточном значении. Теорема Брауэра о неподвижной точке для отрезка. Приложения непрерывности.

- Равномерная непрерывность.

- Число е.

- Вариация кривой.

- Выпуклые множества, выпуклые функции, неравенство Йенсена. Теорема Хелли. Сложение фигур по Минковскому.

- Производная: приложения к доказательству неравенств, выпуклость, экстремумы и точки перегиба.

- Элементы линейной алгебры: векторные пространства, базис пространства, системы линейных уравнений, линейные операторы, матрицы, приложения линейной алгебры.

- Линейные рекуррентные последовательности.

- Потоки на графах.

- Определенный интеграл, суммы Дарбу. Неопределенный интеграл.

- Формула Тейлора.

- Числовые ряды, условно сходящиеся ряды, степенные ряды.

- Функции комплексного переменного.

- Плоские алгебраические кривые.

- Наглядная топология.