Как оценить риск промышленной аварии (А. Гражданкин, "Риск-менеджмент", N 5-6, май-июнь 2007 г.)

Как оценить риск промышленной аварии

При анализе рисковых ситуаций, которые могут произойти на опасных производственных объектах (ОПО), часто не учитывается вероятность возникновения промышленных аварий и их возможные последствия. Однако избежать аварийных ситуаций и минимизировать потери можно, если для оценки риска использовать комплексную систему показателей угрозы техногенных происшествий.

Риск аварии - это мера опасности, включающая в себя и возможность возникновения аварии на ОПО, и тяжесть ее последствий. Так как авария на ОПО может быть отнесена к случайным явлениям, то в самом простом варианте мера ее опасности может оцениваться как случайная величина потерь Y от аварии.

Показатели в порядке

Обычно в практике анализа риска аварии возможные потери Y разделяют на материальные -G (непрерывная случайная величина) и людские - N (дискретная случайная величина). Далее для описания дискретных и непрерывных случайных величин будем использовать случайные величины Nn G соответственно, а для общего случая будем употреблять Y. Отметим, что дальнейшие рассуждения приводятся для упорядочивания и определения места в теории вероятностей традиционных количественных показателей риска аварии - коллективного, индивидуального, социального и т.д. В сложившейся практике анализа риска аварии зачастую оперируют не вероятностью, а средней интенсивностью (частотой) нежелательных событий за определенное время. Если рассматривать происходящие аварии как стационарный пуассоновский поток событий, то связь между вероятностью события Р (t) и его интенсивностью ЛАМБДА достаточно проста:

                а

             Pа(t)= 1-е -ламбдаt причем при ламбдаt< 0,01 Pа(t)= It, (1)

поэтому все последующие рассуждения будут приводиться в терминах вероятностей и при необходимости смогут быть легко видоизменены. При малых значениях вероятность и средняя интенсивность (частота) нежелательных событий численно совпадают, но отличаются размерностью. Рассмотрим дискретную случайную величину людских потерь N при аварии на ОПО с возможными значениями пд = 0, nf nf ..., nk. Каждое из этих значений величина Сможет принять с некоторой вероятностьюpg p1,pf..., pk, что соответствует рассматриваемым при риск-анализе сценариям аварии. Дискретная случайная величина N считается полностью описанной с вероятностной точки зрения, если установлен закон распределения случайной величины, который обычно представляют в виде таблицы - ряда распределения:

          |              |    |      |                  |

       ni |  0           | n1 |  n2  |ламбда n s ламбда | nk

       ---+--------------+----+------+------------------+------

       pi |       k      | p1 |  p2  | ламбдаp s ламбда |  pk

          | 1 - Сумма pi |    |      |                  |

          |       i=1    |    |      |                  |

            k                            k

 причем,  Сумма pi = 1, а pi = 0 = 1 - Сумма pi a - вероятность

          i=0                           i=1

эксплуатации ОПО без людских потерь при авариях Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений. Только для наглядности полученные точки могут соединяться отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. Пример многоугольника случайной величины N для типичного ОПО представлен на рис. 1.

Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения. Понятно, что чем больше точек представлено в многоугольнике, тем больше различных сценариев аварии принято в рассмотрение.

Универсальная характеристика

С точки зрения теории вероятностей нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины ряд распределения построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество возможных значений (так называемое "несчетное множество"). Кроме того, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Поэтому самой универсальной характеристикой любой случайной величины Y является ее функция распределения F(y), равная вероятности Р того, что случайная величина Y примет значение меньше у:

                  F(y) = P (Y < y).   (2)

Функцию распределения F(y) иногда называют также интегральным законом распределения. В практике анализа риска обычно используют несколько видоизмененную характеристику случайной величины потерь - F(y):

     F(y) = P (Y >= y). (3)

Чаще всего ее называют F/N-кривой(-диаграммой) или F/G-кривой. Однако за этими традиционными для риск-анализа названиями, как и за их графическим изображением, скрывается классическая функция распределения потерь F(y), только построенная в координатах {у; 1 - F(y)}, так как:

     F(y) = 1 - F(y).    (4)

Условимся далее называть такую характеристику случайной величины потерь У при аварии на ОПО интегральной функцией распределения потерь F(у) (F/Y-кривая). Пример графического изображения интегральной функции распределения потерь персонала при аварии F(n) (F/N кривая) для многоугольника распределения с рис. 1 представлен ниже. В риск-анализе такой график называют "социальным риском" (рис. 2).

Основные свойства интегральной функции распределения потерь F(y) (F/Y-кривая), построенной в координатах {у; 1 F(y)j достаточно подробно изложены в любом курсе по теории вероятностей. Например, при g= 1 (тонна) значение интегральной функции распре- деления аварийных потерь нефти F(g) для линейной части магистральных нефтепроводов равно вероятности за год аварии с разливом более 1 тонны нефти.

Значение F/N-кривой при п = 1 чел. равно вероятности несчастного случая со смертельным исходом, связанного с аварией на ОПО.

"Рис. 1 "Многоугольник распределения числа погибших"

"Рис. 2 "Интегральная функция распределения числа погибших при аварии на нефтеперекачивающей станции с резервуальным парком (F / N - кривая)

Интегральная функция распределения числа погибших при аварии на нефтеперекачивающей станции с резервуарным парком (F/N-кривая)

     1-F(n)

Отдельно остановимся на вопросе графического изображения интегральной функции распределения потерь F(y) (F/Y-кривая), так как даже в наиболее известном переводном источнике о промышленных авариях алгоритм ее построения представлен с неточностями. К тому же в некоторых декларациях промышленной безопасности многоугольники распределения потерь выдаются за F/Y кривые: предпринимаются безуспешные попытки (рис. 3) аппроксимировать точки многоугольника распределения, которые могут непосредственно соединяться отрезками прямых только для наглядности. Какая-либо обоснованная целесообразность поиска гладкой функциональной зависимости среди дискретных значений отсутствует. Например, внимательно рассматривая F/N-кривую и околорасположенные точки (рис. 3), можно узнать, что в "районе административных зданий" раз в тысячу лет при аварии может погибнуть точно 1,3 человека (руководитель - 1,0, и помощник - 0,3?). Однако, судя по "авторской" F/N-кривой, не менее тех же загадочных 1,3 человек будут гибнуть уже гораздо реже - раз в пять тысяч лет, а раз в тысячу лет погибнет не менее "получеловека".

"Рис. 3 "Типичный пример неправильного построения F / N-кривой

Можно предположить, что использование не дискретной, а непрерывной случайной величины людских потерь на рис. 3 связано с тем, что смертельный случай трактуется как крайняя степень травмированности человека. Однако в этом случае необходимо располагать однозначной зависимостью между степенью травмированности и, например, потерянным временем жизни человека (шкала Россера, R. Rosser, R Kund, 1978). Все возможные условия необходимо включать в полное значение вероятности гибели персонала в соответствии с теоремой умножения вероятностей. Напомним, что одной из основных целей оценки риска аварии является получение достоверных количественных показателей, пригодных для эффективного управления процессом обеспечения промышленной безопасности на ОПО. Использование неоднозначных исходных данных приведет к получению таких же неоднозначных практических рекомендаций и результатов управления.

Для устранения возможных разночтений, а также для более удобного построения F/N кривых приведем формулу (3) в развернутом виде:

         |1,                 у=0

         |

         |k

         |Сумма pi = 1 -po,  0 < y < = y1

         |i=1

         |

 -       |Ламбда k           Ламбда

 F (y)= < Сумма pi,          ys-1 < y < =ys

         |  i=s

         |Ламбда             Ламбда                        (5)

         |

         |pk,                yk-1< y < = yk

         |

         |0,                 yk < y < бесконечность

         |

В частности, из формул (3) и (5) следует, что никакие точки, обозначающие отдельные сценарии аварии, не могут лежать выше F/Y кривой (рис. 3). Для непрерывной случайной величины материальных потерь при аварии G может быть определена и ее функция плотности распределения (плотность вероятности):

     f(g) = F'(g) = -F'(g).               (6)

От моды до медианы

Среди основных числовых характеристик случайных величин нужно, прежде всего, отметить те, которые характеризуют положение и разброс значений случайной величины на числовой оси: математическое ожидание, мода, медиана и дисперсия. Математическое ожидание дискретной случайной величины N (коллективный риск) определяется как:

                      k

     Rкол. = M (N) = Сумма nipi         (7)

                      i=1

Если ввести в рассмотрение случайную величину числа рискующих попасть в аварию U, то можно записать общее выражение для среднего по группе индивидуального риска Rmd как математическое ожидание частного случайных величин NmU:

              М( N)              1

     R инд. =    - =  M(N) х M ( - )  +  Kn1/u,      (8)

                 U               U

где Кп1/и- корреляционный момент случайных величин N и 1/U. В частном случае при U = const:

                                    N          1              Rкоп.

                      Rинд. = М (--------- ) = -   M(N)  = ----------   (9)

                                 U const       u                u

где и - общее число рискующих людей в группе. Математическое ожидание непрерывной случайной величины G (ожидаемый ущерб) определяется как:

                 бесконечность

                   |

     Rs = M[G] =   | gf(g)dg.                    (10)

                   0

Модой (Мо) дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, а непрерывной - значение, в котором максимальна плотность вероятности. В риск-анализе иногда употребляют словосочетание "вероятный вред". Медианой случайной величины Y называется такое ее значение Me, для которого P(Y < Me) = P(Y > Me) . В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой. Как правило, случайная величина потерь от аварий имеет несимметричное - логнормальное - распределение.

Сводная Таблица величин и формул

/--------------------------------------------------------------------------------------------------\

|Показатель  |Исследуемая         |   |Показатель риска в терминах                                 |

|риска аварии|случайная величина  |   |теории вероятностей                                         |

|на ОПО      |                    |   |                                                            |

|------------+--------------------+---+------------------------------------------------------------|

|назва- |обо-|название    |тип    |обо|название  |формула или                             |Ссылка, |

|ние    |зна-|            |       |зна|          |описание                                |(N)     |

|       |че- |            |       |че-|          |                                        |        |

|       |ние |            |       |ние|          |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Социа- |F/N-|Людские     |Дискре-|N  |Интеграль-|F(n) = P (N >=n)                        |(3), (5)|

|льный  |кри-|потери при  |тная   |   |ная  функ-|                                        |        |

|риск   |вая |аварии      |       |   |ция  расп-|                                        |        |

|       |    |            |       |   |ределения |                                        |        |

|       |    |            |       |   |людских   |                                        |        |

|       |    |            |       |   |потерь    |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Полное |    |Людские     |Дискре-|N  |Ряд  расп-|ni|    0      |n1|n2|Ламбда ns Ламбда|nk|        |

|описа- |    |потери при  |тная   |   |ределения |--+-----------+--+--+----------------+--|        |

|ние    |    |аварии      |       |   |N  (графи-|  |      k    |p1|p2|Ламбда ps Ламбда|pk|        |

|сцена- |    |            |       |   |чески-    |pi|1- Сумма pi|  |  |                |  |        |

|риев   |    |            |       |   |многоуго- |  |      i=1  |  |  |                |  |        |

|аварии |    |            |       |   |льник рас-|                                        |        |

|с   ги-|    |            |       |   |пределе-  |                                        |        |

|белью  |    |            |       |   |ния)      |                                        |        |

|людей  |    |            |       |   |          |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Коллек-|R   |Людские     |Дискре-|N  |Математи- |                 k                      |(7)     |

|тивный |кол |потери при  |тная   |   |ческое    |R коп = M5(N) = Сумма nipi              |        |

|риск   |    |аварии      |       |   |ожидание N|                 i=1                    |        |

|       |    |            |       |   |          |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Индиви-|R   |Людские     |Дискре-|N и|Математи- |            N                  1        |(8)     |

|дуаль- |инд |потери      |тные   |U  |ческое    |Rинд. = M (---) =  M (N) х M (--)+ Ku1/n|        |

|ный    |    |при аварии  |       |   |ожидание  |            U                  U        |        |

|риск   |    |и число     |       |   |частного  |                                        |        |

|       |    |рискующих   |       |   |N и U     |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Риск   |F/G-|Материальные|Непре- |G  |Интеграль-|-                                       |(3), (5)|

|матери-|кри-|потери при  |рывная |   |ная       |F(g) = P(G>= g)                         |        |

|альных |вая |аварии      |       |   |функция   |                                        |        |

|потерь |    |            |       |   |распреде- |                                        |        |

|       |    |            |       |   |ления     |                                        |        |

|       |    |            |       |   |материаль-|                                        |        |

|       |    |            |       |   |ных потерь|                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Полное |    |Материальные|Непре- |G  |Плотность |                -                       |(6)     |

|описа- | -  |потери при  |рывная |   |вероятнос-|f(g) = F'(g) = -F'(g)                   |        |

|ние    |    |аварии      |       |   |ти G      |                                        |        |

|сцена- |    |            |       |   |(графичес-|                                        |        |

|риев   |    |            |       |   |ки -      |                                        |        |

|аварии |    |            |       |   |кривая    |                                        |        |

|с мате-|    |            |       |   |распреде- |                                        |        |

|риаль- |    |            |       |   |ления)    |                                        |        |

|ными   |    |            |       |   |          |                                        |        |

|потеря-|    |            |       |   |          |                                        |        |

|ми     |    |            |       |   |          |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Ожидае-|-   |Материальные|Непре- |G  |Математи- |        бесконечность                   |(10)    |

|мый    |    |потери при  |рывная |   |ческое    |Rs=M[G]=|gf(g)dg                        |        |

|ущерб  |    |аварии      |       |   |ожидание G|        |                               |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Наибо- |    |Материальные|Непре- |G  |Мода G    |Значение G=g,  при котором f(g)- max   |(6)     |

|лее    |  - |потери при  |рывная |   |          |                                        |        |

|вероят-|    |аварии      |       |   |          |                                        |        |

|ный    |    |            |       |   |          |                                        |        |

|ущерб  |    |            |       |   |          |                                        |        |

|(вероя-|    |            |       |   |          |                                        |        |

|тный   |    |            |       |   |          |                                        |        |

|вред)  |    |            |       |   |          |                                        |        |

|-------+----+------------+-------+---+----------+----------------------------------------+--------|

|Полный |Rсу-|Людские и   |Смешан-|N, |Сумма     |где N  -  стоимостная оценка  человечес-|(7),    |

|ожидае-|мма |материальные|ная    |G  |математи- |кой жизни                               |(10)    |

|мый    |    |потери при  |       |   |ческих    |                                        |        |

|вред/ущ|    |аварии      |       |   |ожиданий  |                                        |        |

|ерб от |    |            |       |   |N  и G    |                                        |        |

|аварии |    |            |       |   |          |                                        |        |

\--------------------------------------------------------------------------------------------------/

Приведем и формальное определение дисперсии случайной величины Y- математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины:

     о            о

     Y: D[Y] = M[Y2].

В силу редкости аварий и высокой неопределенности исходных данных получаемые при риск-анализе оценки возможных потерь от техногенных происшествий почти всегда будут иметь достаточно большой разброс. В таких случаях оперировать при сравнительном анализе точечными значениями нельзя. Необходимо использовать интервальные оценки. В противном случае достаточно легко управлять риском, например, от значения 10-5 до 10-6. На аварийность это никак не повлияет, зато управляющему риском есть где развернуться и чем заняться. В качестве обобщающего итога перечислим основные показатели, используемые при анализе риска аварии на ОПО, в терминах теории вероятностей (таблица).

При количественной оценке риска аварии ОПО задача-максимум - определить полный ряд распределения случайной величины N людских потерь, построить F/Y кривые или функцию плотности вероятности потерь G от аварии, а задача-минимум - оценить основные числовые характеристики случайных величин материальных G и людских N потерь - матожидание, моду и дисперсию. Использование более полного набора достоверных количественных показателей позволяет всесторонне оценивать риск аварии и, соответственно, предлагать обоснованные адресные рекомендации, направленные на его снижение и в конечном счете -обеспечение промышленной безопасности ОПО.

А. Гражданкин,

канд. техн. наук, зав. лабораторией

количественной оценки риска НТЦ "Промышленная безопасность"

"Риск-менеджмент", N 5-6, май-июнь 2007 г.