Прогнозируем с математической точностью (Н.Ю. Смирнова, "Предприниматель без образования юридического лица. ПБОЮЛ", N 4, апрель 2008 г.)

Прогнозируем с математической точностью

Делаем прогноз

Для примера возьмем предпринимателя Игоря Нестерова, который занимается торговлей обувью, имеет свой обувной магазин в спальном районе города. Каждый раз для заказа определенного количества товара Игорю требовался прогноз продаж на будущий период. Причем чем точнее был прогноз, тем меньше впоследствии Игорю приходилось устраивать распродажи, чтобы избавиться от излишков старых коллекций обуви.

Чтобы рассчитать прогноз продаж обуви по месяцам на год вперед и согласовать график поставок с поставщиками, Игорь решил прибегнуть к помощи математической статистики. Для этого он рассчитал продажи в прошлых пяти месяцах (см. Таблицу 1).

Таблица 1

Фактический размер продаж за последние 5 месяцев

Месяц	Ноябрь 2007 г.	Декабрь 2007 г.	Январь 2007 г.	Февраль 2008 г.	Март 2008 г.
Продажи обуви, пар	240	310	200	220	350

Как можно понять, каковы будут продажи в апреле, мае, июне и далее (то есть сколько пар нужно закупать)? Игорь воспользовался тремя моделями математической статистики для создания прогнозов:

- моделью постоянного среднего прироста;

- моделью постоянного среднего темпа;

- моделью сглаживания по параболе.

Смысл приема таков: выбирается модель, которая позволяет построить график, наиболее приближенный к реальной динамике продаж. Именно по этому графику и будет сделан прогноз.

Модель постоянного среднего прироста

В случае модели постоянного среднего прироста вычисляется средний прирост. Для этого рассчитывается прирост для каждого месяца, а потом вычисляется среднее арифметическое:

Прирост за 2-й месяц: 310 - 240 = 70

Прирост за 3-й месяц: 200 - 310 = - 110

Прирост за 4-й месяц: 220 - 200 = 20

Прирост за 5-й месяц: 350 - 220 = 130

Средний прирост: (70 - 110 + 20 + 130) / 4 = 27,5.

Таким образом, мы получаем определенную модель, по которой можно будет вычислить прогнозы продаж на следующие месяцы. Значения прогнозов будут определяться по формуле:

     X    = X + 27,5 х t,

      T+1    1

     где X    - прогнозное значение продаж;

          T+1

     X  - значение продаж в первом месяце (фактические данные). В нашем случае X = 240;

      1                                                                         1

     t - месяц по счету, начиная с первого.

Получаем прогнозную таблицу значений продаж на базе модели постоянного среднего прироста (см. Таблицу 2). Считается, что график модели непременно проходит через точки продаж за первый и последний месяцы.

Таблица 2

Значения продаж по модели постоянного среднего прироста и
фактические данные

Месяц	Ноябрь 2007 г. (1 месяц)	Декабрь 2007 г. (2 месяц)	Январь 2008 г. (3 месяц)	Февраль 2008 г. (4 месяц)	Март 2008 г. (5 месяц)	Апрель 2008 г. (6 месяц)	Май 2008 г. (7 месяц)	Июнь 2008 г. (8 месяц)
Продажи обуви, пар (фактические дан- ные)	240	310	200	220	350	-	-	-
Данные по модели среднего прироста	240	264	295	322,5	350	377,5	405	432,5

Как видно из Таблицы 2, по модели постоянного среднего прироста у Игоря продажи будут постоянно расти, начиная с апреля 2008 г. (шестого месяца).

Впрочем, существуют и другие варианты прогноза по оставшимся двум моделям.

Модель постоянного среднего темпа

В соответствии с данной моделью рассчитывается темп роста продаж за каждый месяц по сравнению с предыдущим. Проще говоря, предпринимателю нужно выяснить, во сколько раз возросли или упали продажи по сравнению с предыдущим месяцем. Затем темпы роста за каждый месяц складываются и рассчитывается среднее геометрическое.

Прирост за второй месяц: 310 / 240 = 1,291667.

Прирост за третий месяц: 200 / 310 = 0,645161.

Прирост за четвертый месяц: 220 / 200 = 1,1.

Прирост за пятый месяц: 350 / 220 = 1,590909.

                   4/--------------------------------------

     Средний темп: \|41,291667 х 0,645161 х 1,1 х 1,590909 = 1,098915.

Таким образом, мы получаем еще одну модель, по которой можно будет вычислить прогнозы продаж на следующие месяцы. Значения будут определяться по формуле:

     X    = X  х 1,1 ,

      Т+1    1      t

     где X    - прогнозное значение продаж;

          T+1

     X  - значение продаж в первом месяце (фактические данные); t - месяц по счету, начиная с первого.

      1

     t - месяц по счету, начиная с первого

Рассчитываем прогнозную таблицу значений продаж на базе модели постоянного среднего темпа (см. Таблицу 3). Считается, что график модели непременно проходит через точки продаж за первый и за последний месяцы.

Таблица 3

Значения продаж по модели постоянного среднего темпа
и фактические данные

Месяц	Ноябрь 2007 г. (1 месяц)	Декабрь 2007 г. (2 месяц)	Январь 2008 г. (3 месяц)	Февраль 2008 г. (4 месяц)	Март 2008 г. (5 месяц)	Апрель 2008 г. (6 месяц)	Май 2008 г. (7 месяц)	Июнь 2008 г. (8 месяц)
Продажи обуви, пар (фактические дан- ные)	240	310	200	220	350	-	-	-
Данные по модели среднего темпа	240	263,7397	289,8275	318,4959	350	384,6203	422,6652	464,4732

Значения берутся грубо-приближенные. Значение за 1 и 5 месяцы по модели должны обязательно совпадать с фактическими.

Как видно из Таблицы 3, по модели постоянного среднего темпа у Игоря продажи также будут расти, причем даже быстрее, чем в случае прогнозирования с использованием модели постоянного среднего прироста.

Модель сглаживания по параболе

По этой модели рассчитывается формула, задающая график параболы, которая и будет определять прогноз продаж Игоря в следующие месяцы.

Чтобы вычислить формулу параболы, по которой Игорь сможет делать прогноз продаж в следующие месяцы, необходимо найти вершину параболы по формуле:

                   2

     Y  = b + a х t ,

где Y - это значение продаж,

t - значение конкретного месяца, начиная с первого,

a и b - коэффициенты, которые предстоит определить.

Как и в первых двух случаях, считается, что первое и последнее значения ряда лежат на параболе, то есть это точки (1; 240) и (5; 350). Решаем систему уравнений:

   / 240 = b + a х 1

   |

   \ 350 = b + a х 25

   / b = 240 - a

   |

   \ 350 = b + a х 25

Складываем два уравнения в одно: 110 = 24a, откуда a = 4,58. Подставим это значение в одно из уравнений: b = 240 - 4,58, откуда автоматически получаем b = 235,42.

Решением системы будут следующие значения коэффициентов a = 4,58 и b = 235,42.

Таким образом, мы получаем еще одну модель, по которой можно будет вычислить прогнозы продаж. Значения будут определяться по формуле:

                           2

     Y  = 235,42 + 4,58 х t ,

где Y - прогнозное значение продаж, t - месяц по счету, начиная с первого.

Получаем прогнозную таблицу значений продаж на базе модели сглаживания по параболе (см. Таблицу 4).

Таблицу 4

Значения продаж по модели сглаживания по параболе
и фактические данные

Месяц	Ноябрь 2007 г. (1 месяц)	Декабрь 2007 г. (2 месяц)	Январь 2008 г. (3 месяц)	Февраль 2008 г. (4 месяц)	Март 2008 г. (5 месяц)	Апрель 2008 г. (6 месяц)	Май 2008 г. (7 месяц)	Июнь 2008 г. (8 месяц)
Продажи обуви, пар (фактические дан- ные)	240	310	200	220	350	-	-	-
Данные по модели параболы	240	253,74	276,64	308,7	350	400,3	459,84	528,54

Как видно из Таблицы 4, по модели сглаживания по параболе у Игоря продажи растут даже быстрее, чем по модели постоянного среднего темпа. Сравним в одной таблице результаты прогнозирования по всем трем моделям (см. Таблицу 5).

Таблица 5

Сравнение результатов прогнозов трех моделей и фактических данных

Месяц	Ноябрь 2007 г. (1 месяц)	Декабрь 2007 г. (2 месяц)	Январь 2008 г. (3 месяц)	Февраль 2008 г. (4 месяц)	Март 2008 г. (5 месяц)	Апрель 2008 г. (6 месяц)	Май 2008 г. (7 месяц)	Июнь 2008 г. (8 месяц)
Продажи обуви, пар (фактические дан- ные)	240	310	200	220	350	-	-	-
Данные по модели среднего прироста	240	264	295	322,5	350	377,5	405	432,5
Данные по модели среднего темпа	240	263,7397	289,8275	318,4959	350	384,6203	422,6652	464,4732
Данные по модели параболы	240	253,74	276,64	308,7	350	400,3	459,84	528,54

"Рис. 1"

Какому же прогнозу следовать, ведь прогноз на восьмой месяц (июнь 2008 г.) отличается по моделям среднего прироста и параболы почти на 100 единиц, а это 100 пар обуви, которые могут в итоге оказаться как лишними, так и недостающими!

Для анализа полученных моделей и отбора одной, наиболее подходящей, используются определенные параметры, один из которых - остаточная дисперсия. Этот показатель отражает отклонения прогнозных значений по той или иной модели от фактических. Остаточная дисперсия показывает, насколько построенные по модели прогнозы окажутся наиболее приближенными к реальности.

Проверка и отбор моделей

Значение остаточной дисперсии можно найти так: в числителе считается сумма квадратов отклонений фактических значений от плановых, а в знаменателе - количество этих значений. Итак, рассчитаем остаточную дисперсию для всех трех моделей:

1) Модель постоянного среднего прироста.

                                        2                              2

     Остаточная дисперсия = ((240 - 240) + (310 - 267,5)2 + (200 - 295)

               2             2

+ (220 - 322,5) + (350 - 350) ) / 5 = 4267,5.

2) Модель постоянного среднего темпа.

                                        2                  2

     Остаточная дисперсия = ((240 - 240) + (310 - 263,7397) + (200  -

         2                  2                2

289,8275) + (220 - 318,4959) + (350 - 351,38) ) / 5 = = 3982,089.

3) Модель сглаживания по параболе.

                                        2                2

     Остаточная дисперсия = ((240 - 240) + (310 - 253,74) + (200 -

       2               2             2

276,64) + (220 - 308,7) + (350 - 350) ) / 5 = 3381,313.

Итак, на основании проведенного выше расчета остаточной дисперсии можно сразу сделать вывод о том, что модель сглаживания по параболе является наиболее близкой к фактическим данным и поэтому результаты прогнозирования по такой модели будут более близкими к реальности. Но к какому отклонению от фактических данных должен быть готов Игорь? Ведь, как и любая модель, данная модель сглаживания по параболе содержит определенные допущения, а потому вряд ли сможет дать прогноз продаж обуви со стопроцентным попаданием.

Как же рассчитать отклонение плана от факта? Нужно вычислить квадратный корень из остаточной дисперсии. Дело в том, что дисперсия показывает разброс фактических продаж от прогнозируемых, а нам нужно знать не общий разброс, а то, на сколько в среднем отклоняется прогноз от факта как в плюс, так и в минус. То есть нам нужна не вся дисперсия, а ее половинка. Грубо говоря, по правилам математической статистики "половинкой дисперсии" является как раз вычисленный из нее квадратный корень. В случае модели сглаживания по параболе данное значение будет вычисляться следующим образом:

                                 /----------

     Отклонение плана от факта: \| 3381,313 = 58,14906.

Это означает, что Игорь должен рассчитывать, что прогнозные значения продаж, исчисленные на основании модели сглаживания по параболе, скорее всего будут отличаться от фактических примерно на 58 проданных пар обуви как в большую, так и в меньшую сторону. Остается вероятность того, что расхождение прогноза с фактом будет больше, чем 58 пар обуви, проданных в месяц. Тем не менее при планировании закупок Игорь должен учитывать отклонение как минимум в 58 пар.

Ложь, наглая ложь и статистика

Не зря говорят, что на свете существует три вида лжи - ложь, наглая ложь и статистика, которой принято не верить. Конечно, только на одну статистику полагаться не стоит. Однако математическая статистика, наравне с другими инструментами управления компанией, поможет вместо спонтанных принять более взвешенные и обоснованные решения. Так, благодаря описанному методу Игорь Нестеров смог не только просчитать прогноз продаж своего магазина, но и понять, насколько прогноз может отличаться от фактических данных и что нужно будет учитывать при формировании заказа поставщикам.

Кроме того, математическая статистика помогла Игорю принять и грамотное маркетинговое решение по постоянному обновлению коллекций обуви для повышения продаж, так как количество посещений магазина в меньшей степени влияло на рост продаж.

Разумеется, прогнозы нужно будет периодически пересматривать, корректировать по мере поступления новых данных. То же касается и определения взаимного влияния факторов. Использование математической статистики в управлении бизнесом в любом случае позволит повысить вероятность правильных решений.

Н.Ю. Смирнова,

консультант по управлению БИТЕК,

независимый финансовый советник ИНФИНАДО

"Предприниматель без образования юридического лица. ПБОЮЛ", N 4, апрель 2008 г.