Временная стоимость денег (О.Е. Орлова, "Руководитель строительной организации", N 9, сентябрь 2010 г.)

Временная стоимость денег

Деньгами измеряется стоимость любого имущества, однако они имеют и собственную цену. Эта цена определяется потенциальной выгодой, которую могут принести деньги при их размещении в тех или иных инвестиционных инструментах (банковский вклад, недвижимость, бизнес, ценные бумаги и т.д.). Количественной мерой стоимости денег является процентная ставка. С ее помощью можно рассчитать "завтрашнюю" стоимость денег, оценить будущие денежные потоки в "сегодняшних" ценах, а также соизмерить между собой периодические и разовые выплаты и поступления.

Временная ценность денег является фундаментальным понятием науки о финансах (иногда это явление называют положительным временным предпочтением). Временная ценность денег предполагает, что средства, полученные в настоящий момент, более предпочтительны по отношению к полученным в будущем: "нынешние" деньги могут приносить процент или доход, будучи сбереженными или вложенными.

На стоимость денег во времени влияют следующие факторы:

- инфляция;

- риски неполучения денег;

- доходы от инвестирования;

- свойство денег поддерживать высокую ликвидность.

Рассмотрим каждый из этих факторов. Инфляция заставляет человека задуматься о временной стоимости денег. Если спросить любого прохожего, почему устанавливают цену деньгам, то самым вероятным будет ответ: за счет инфляции покупательная способность денег снижается, поэтому получение дохода в виде процентов необходимо как минимум для того, чтобы компенсировать обесценение денег. Но если бы инфляции не было, мало кто согласился бы отдать деньги без процентов: "бесплатно они и дома полежат". То есть, говоря по-научному, мы хотим получить плату за риск. Более "продвинутые" инвесторы или коммерческие организации имеют дело с таким свойством денег, как возможность приносить доход при их размещении в финансовых инструментах. И наконец, сегодняшние деньги обеспечивают ликвидность и высокую платежеспособность. Ни один другой финансовый актив не обладает сопоставимой с деньгами ликвидностью, даже депозиты со сроком "до востребования" требуют времени на технический перевод актива в кэш.

Наращение и дисконтирование

Для того чтобы определить будущую стоимость сегодняшних денег, нужно произвести наращение путем начисления процентов. Наращение вычисляется по формуле простых или сложных процентов.

Примечание. Финансовый словарик

Простой процент - это сумма дохода, которая начисляется на основную сумму, предоставленную кредитором. Доход может быть выплачен в каждом интервале начисления, но при этом не участвует в расчетах в качестве базы в последующих периодах.

Пример 1

Пусть мы положили на банковский вклад 50 тыс. руб. на срок 5 лет под 8% годовых с ежегодной выплатой процентов. При этом проценты не капитализируются в целях определения дохода, то есть начисление производится по формуле простых процентов, и вклад растет в арифметической прогрессии.

Проценты за первый и последующие годы составят: 50 х 8% = 4 (тыс. руб.).

Сумма денег на счету по окончании	Тыс. руб.
Первого года	54
Второго года	58
Третьего года	62
Четвертого года	66
Пятого года	70

Для того чтобы рассчитать сегодняшнюю стоимость денег, производят операцию, обратную начислению процентов, - дисконтирование.

Примечание. Финансовый словарик

Дисконтирование - приведение будущих денежных потоков к текущему периоду с учетом изменения стоимости денег с течением времени.

Пример 2

Предпринимателю предлагают за 200 млн. руб. купить строительную компанию, предполагаемая стоимость которой через год составит 250 млн. руб. Определим, какую доходность обещают владельцы компании.

Обозначим за Х планируемую доходность от размещения акций. Тогда:

200 + 200 х Х = 250 (млн. руб.)

200 (1 + Х) = 250

1 + Х = 250/200

Х = 250/200 - 1 = 1,25 - 1 = 0,25 (или 25%)

Формула дисконтирования будет иметь вид: 200 млн. руб. = 250 млн. руб. / (1 + 0,25).

Мы рассчитали, что продавцы компании обещают доходность 25% годовых. Одновременно с помощью формулы дисконтирования мы соизмерили "сегодняшнюю" сумму 200 млн. руб. и сумму 250 млн. руб. через год, при этом получили, что при ставке 25% эти суммы равны.

Плата за риски

Пример 3

Частично совместим условия примеров 1 и 2. Пусть мы имеем в наличии 200 млн. руб. Мы можем или поместить их на срок один год на банковский депозит под 8% годовых, или купить на них акции с предполагаемой доходностью 25% через год.

Сразу обращает на себя внимание тот факт, что альтернативные варианты инвестирования отличаются и по доходности, и по рискам. Рассмотрим структуру процентной ставки с точки зрения рисков. В экономической литературе принято, что цена денег включает:

- плату по безрисковому активу, которая как минимум должна возместить инфляцию;

- плату за риск.

Соответственно, формула расчета процентной ставки будет выглядеть следующим образом:

где:

- процентная ставка;

- безрисковая ставка дохода;

- рисковые премии по различным факторам риска.

В качестве безрисковой ставки рекомендуют принимать процентную ставку по государственным ценным бумагам, по банковскому депозиту ставку рефинансирования ЦБ РФ, ставку LIBOR (лондонская межбанковская ставка предложения).

В качестве факторов риска учитываются:

- страновой риск;

- риск ненадежности участников проекта;

- риск неполучения предусмотренных проектом доходов.

Используя представленную выше структуру процентной ставки, можно принять в качестве безрискового актива банковский депозит, а в качестве рискового проекта - приобретение акций строительной компании.

Тогда плата за риск в примере 3 составит 17% (25 - 8).

Текущая стоимость денег

Продолжим рассматривать условия примера 3. Через год сумма на депозите составит 216 млн. руб. (200 млн. руб. + 200 млн. руб. х 8%), предполагаемая стоимость акций - 250 млн. руб. (200 млн. руб. + 200 млн. руб. х 25%). Разница в доходах в масштабе денег "через год" в размере 34 млн. руб. (250 - 216) рассчитывается простым арифметическим действием. А как определить разницу в доходах в "сегодняшних" ценах? Для того чтобы установить разницу, применяя "сегодняшнюю" стоимость денег, надо принять для себя процентную ставку, в которую вы оцениваете деньги.

Пусть до предложения о помещении денег в акции строительной компании единственным способом инвестирования для вас был банковский депозит. Тогда принимаемая за цену денег процентная ставка составит 8%.

Дисконтируем сумму 250 млн. руб. по ставке 8%, переведя ее в "сегодняшний" масштаб цен: 250/1 + 0,08 = 231,48 (млн. руб.).

Вложив в проект 200 млн. руб., получим в "сегодняшних" ценах денежный приток 231,48 млн. руб. Разница составляет 31,48 млн. руб. В финансовой математике эта разница называется чистой приведенной стоимостью (NPV).

Примечание. Финансовый словарик

Чистая приведенная (текущая) стоимость - это стоимость будущих денежных потоков инвестиционного проекта, рассчитанная с учетом дисконтирования, за вычетом инвестиций.

Вот мы и подошли к тому, чтобы представить формулу текущей (приведенной) стоимости в общем виде:

,

где:

- потоки доходов за периоды 1, 2, 3,..., ;

- нормы дохода за периоды 1, 2, 3,..., .

На первый взгляд, формула кажется сложной, однако она широко используется в расчетах, так как вся нагрузка ложится на вычислительную технику, достаточно лишь один раз прописать алгоритм. В примере 3 мы использовали первое слагаемое формулы, так как расчеты производили только за один год.

Общий вид формулы текущей стоимости является обратным отражением формулы сложных процентов, к рассмотрению которых мы и переходим.

Примечание. Финансовый словарик

Сложный процент - это сумма дохода, которая начисляется в каждом интервале, присоединяется к основной сумме, предоставленной кредитором, и участвует в качестве базы для начисления в последующих периодах.

Пример 4

Пусть мы положили на банковский вклад 50 тыс. руб. на срок 5 лет под 8% годовых с ежегодной капитализацией процентов. То есть начисление процентов производится по формуле сложных процентов, и наш вклад растет в геометрической прогрессии.

Проценты за год (тыс. руб.)		Сумма денег на счету по окончании (тыс. руб.)
Первый год	50 х 8% = 4	Первого года	54
Второй год	54 х 8% = 4,32	Второго года	58,32
Третий год	58,32 х 8% = 4,67	Третьего года	62,99
Четвертый год	62,99 х 8% = 5,04	Четвертого года	68,03
Пятый год	68,03 х 8% = 5,44	Пятого года	73,47

По формуле геометрической прогрессии считается и результат инфляции. Такой метод расчета называется в экономической литературе цепным (каждый последующий год относится к предыдущему, а не к какой-то общей неизменной базе). Поскольку инфляция непосредственно влияет на финансовый результат деятельности любой организации, "съедая" часть прибыли, рассмотрим этот процесс на небольшом примере.

Пример 5

По официальной статистике, инфляция в 2005 году составила 10,9%, в 2006 году - 9,0%, в 2007 году - 11,9%, в 2008 году - 13,3%, в 2009 году - 8,8%. Инфляция за пять лет рассчитывается следующим образом: 1,109 х 1,09 х 1,119 х 1,133 х 1,088 = 1,667.

То есть инфляция за пять лет (с 2005 по 2009 годы) составила 66,7%.

После операции наращения сложных процентов рассмотрим обратную - дисконтирование.

Пример 6

Берем исходные данные примера 4. Формула дисконтирования должна нам доказать, что при ставке дисконтирования 8% сегодняшняя сумма 50 тыс. руб. эквивалента денежным средствам, полученным через пять лет, в размере 73,47 тыс. руб.

.

С помощью формулы текущей приведенной стоимости решаются и другие задачи. Например, можно определить, через какой интервал времени первоначальная сумма увеличится в полтора, два, три раза. В данном случае расчеты с использованием логарифмических уравнений производятся средствами вычислительной техники. Однако есть упрощенный способ определения срока удвоения суммы (так называемое "правило 72-х"). Формула проста, надо 72% разделить на процентную ставку:

Срок удвоения (в годах) = 72% / R,

где R - процентная ставка.

Примечание. Формула 72-х позволяет быстро определить, за какой срок произойдет удвоение первоначальной суммы, если процентная ставка неизменна, а капитализация процентов происходит один раз в год.

Так, приставке по вкладу 8% удвоение суммы произойдет через 9 лет; при ставке роста бизнеса 25% удвоение произойдет через 2,9 года.

Внутренняя норма дохода

Дисконтирование приводит к настоящему моменту времени разные денежные потоки, что позволяет дать оценку внедряемым проектам. В качестве критериев выгодности проекта рассчитывают или NPV в рублях, или доходность в процентах. Несмотря на то что сами расчеты достаточно громоздки, получаемый на выходе результат лаконичен и понятен.

Пример 7

Пусть компания имеет возможность внедрить проект, который требует внесения денег в начале срока в сумме 200 тыс. руб. и в течение первого года - 500 тыс. руб. На четвертый год он принесет отдачу - 400 тыс. руб., а на пятый год - 1 050 тыс. руб.

Соответствует ли данный проект требованиям экономической эффективности со ставкой дисконтирования 15% (то есть если проект продемонстрирует равную 15% годовых или более высокую доходность, то компания его примет)?

( тыс. руб.)

N строки	Показатели	Начало	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год
1	Сальдо на начало	0	-200	-700	-700	-700	-300
2	Отток	200	500
3	Приток					400	1050
4	Сальдо на конец	-200	-700	-700	-700	-300	750
5	Коэффициент дисконтирования	1	0,87	0,7561	0,6575	0,5718	0,4972
6	Дисконтированное сальдо на начало	0	-200	-635	-635	-635	-406
7	Дисконтированный отток	200	435
8	Дисконтированный приток					229	522
9	Дисконтированное сальдо на конец	-200	-635	-635	-635	-406	116

Пояснения к таблице.

Строка 1 = строка 4 предыдущего периода

Строка 4 = строка 1 - строка 2 + строка 3

Коэффициент дисконтирования в первый год - 0,87 = 1 / (1 + 0,15); во второй - 0,7561 = ; в третий - ; в четвертый - 0,5718 = ; в пятый - 0,4972 = .

Строка 6 = строка 9 предыдущего периода

Строка 7 = строка 2 х строка 5

Строка 8 = строка 3 х строка 5

Строка 9 = строка 6 - строка 7 + строка 8

Положительное дисконтированное сальдо на конец проекта (NPV) говорит о том, что проект не только удовлетворяет условиям доходности в 15%, но и превосходит ожидания, формируя сверхплановый доход в сегодняшних ценах 116 тыс. руб. Произведя обратный расчет, мы увидим что доходность данного проекта составляет 19,9%. Этот показатель называют внутренней нормой дохода проекта (IRR). При ставке 19,9% дисконтированное сальдо на конец проекта обращается в ноль.

Примечание. Финансовый словарик

Внутренняя норма дохода (IRR) - норма дисконта, обеспечивающая равенство между дисконтированным потоком денежных поступлений и величиной текущей стоимости.

Формула бессрочных вложений

Формула бессрочных вложений используется тогда, когда вложение с целью получения дохода производится на длительный срок (вплоть до бесконечности). И хотя попытка рассчитать доход за бесконечно длинный промежуток времени с точки зрения здравого смысла представляется некорректной, в отношении точности расчетов она легко выдерживает критику. Причем чем выше норма дохода, тем выше точность расчетов.

Если в каждом промежутке времени имеют место одинаковые денежные потоки и норма дохода при этом одинакова, то формула выглядит следующим образом:

Приведенная стоимость = C / R,

где:

C - поток доходов, получаемых в конце каждого периода;

R - норма дохода.

Повторим, формула бессрочных вложений используется, если горизонт пользования (извлечения выгоды) активом не определен и актив отвечает двум вышеназванным условиям (равные денежные потоки, равные нормы дохода). Как правило, данные условия соблюдаются при оценке вложений в недвижимость и привилегированные акции (по которым предусматривается выплата процентов). Рассмотрим примеры.

Пример 8

Компании предложено приобрести привилегированную акцию с ежегодной выплатой процентов по ней в сумме (условно) 10 руб. Какую максимальную сумму может заплатить инвестор сегодня за право получить предполагаемый доход в будущем при требуемой норме доходности 12%?

Воспользуемся формулой приведенной стоимости и произведем нужные расчеты: 10 / 0,12 = 83,3 ( руб.).

Другими словами, чтобы инвестор извлек выгоду, цена акции должна быть не более 83,3 руб. (при требуемой норме доходности 10%, соответственно, 100 руб. или ниже).

Пример 9

Какова приведенная стоимость недвижимости, если доход от ее сдачи в аренду составляет (условно) 1 000 руб. за кв.м в год?

При норме дохода 12% указанный доход (1 000 руб.) дает приведенную стоимость 8 333 руб./кв.м, при норме дохода 24% - 4 167 руб./кв.м; при 36% - 2 778 руб./кв.м; при 48% - 2 083 руб./кв.м. Обратите внимание: чем выше ставка дисконтирования, тем ниже стоимость денег.

На этом примере можно продемонстрировать, как стабилизируются денежные потоки при дисконтировании. Ниже рассчитаны дисконтированные потоки арендной платы в размере 1 000 руб. в год за один кв. м за разные промежутки времени.

Норма дохода , %	10 лет	20 лет	30 лет	40 лет	Бесконечность
12	5 650	7 469	8 055	8 244	8 333
24	3 682	4 110	4 160	4 167
36	2 649	2 772	2 778
48	2 042	2 083

С математической точки зрения здесь имеет место бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, поэтому после n-го шага дисконтирования к сумме денежного потока прибавляются только нули.

Дисконтирование является быстрым способом сопоставления единовременных и периодических затрат при принятии управленческих решений. И действительно, взяв за основу 12% годовых (1% в месяц), легко переводить ежегодные и ежемесячные платежи в единовременные.

Пример 10

Каждый месяц компания несет непроизводительные потери в размере 1 000 руб. по старому договору, который давно пора расторгнуть. Документы на оплату присылаются регулярно, но все заняты "важными" делами, а за такую мизерную потерю начальство не ругает. Есть ли в фирме "герой", готовый принести ей доход в размере 100 000 руб.? Так пусть он расторгнет никому не нужный договор! Вы спросите, как получилась такая сумма? Пересчитайте по формуле бессрочных вложений со ставкой дохода в 12%: приведенная стоимость = 1 000 / 0,01 = 1 000 000 (руб.).

Данный расчет удобен тем, что дает возможность почувствовать бремя регулярных непроизводительных расходов. Иначе получается: 12 000 руб. в год - это много, 1 000 руб. в месяц - уже поменьше, а нагрузку в 33 руб. в день вынесет любая порядочная компания.

Пример 11

Сотрудники ежедневно по часу "сидят за чаем с ватрушками" (кроме положенного обеденного перерыва). Ваше право, пусть сидят. Но знайте цену этим "посиделкам". Допустим, оклад - 15 000 руб., потери рабочего времени - 1/8. Значит, в месяц потери составляют 1 875 руб. "Кружок" включает трех человек. Получаем 5 625 руб. А теперь умножаем на 100 - 562,5 тыс. руб. Наши "внутридневные" корпоративные посиделки обходятся фирме в 562,5 тыс. руб.!

В заключение - краткие тезисы:

1) наращение и дисконтирование - две стороны одного процесса, связанного с приведением разновременных значений денежных потоков к их ценности на определенный момент времени;

2) денежные средства в первую очередь должны направляться в проекты, имеющие максимальную NPV;

3) средства вкладываются в проект до тех пор, пока его IRR превышает альтернативную стоимость инвестируемых денег.

О.Е. Орлова,

эксперт журнала "Руководитель строительной организации"

"Руководитель строительной организации", N 9, сентябрь 2010 г.