Как взвесить тяжелый хвост (И. Журавлев, "Риск-менеджмент", N 7-8, июль-август 2008 г.)

Как взвесить тяжелый хвост

При анализе распределения операционных потерь, имеющего тяжелый хвост, нельзя предсказать возможную величину ущерба на основе традиционных методов. В качестве инструмента количественной оценки операционного риска может быть использована теория экстремальных значений, изучающая "выбросы" наблюдений.

Операционный риск определяется как риск возникновения убытков в результате недостатков или ошибок во внутренних процессах, в действиях сотрудников и иных лиц, в работе информационных систем или вследствие внешних событий. Операционный риск неизменно присутствует в качестве одного из важнейших рисков финансовой индустрии.

"Рис. 1"

Однако в настоящее время глобализация и дерегулирование финансовых рынков, растущая сложность банковской индустрии, крупномасштабные слияния и поглощения приводят к увеличению подверженности банковской деятельности операционному риску. Данный риск значительно отличается от других банковских рисков: в процессе его измерения и регулирования внимание фокусируется в основном на фактах, отражающих скорее отклонения, чем нормальный ход событий. Отсюда вытекает сложность моделирования операционного риска. Регулирующие органы, такие как Базельский комитет по банковскому надзору, стремясь повысить устойчивость банковской системы, формируют требования к капиталу банков, резервирумому на покрытие непредвиденных операционных потерь. В новом Соглашении о достаточности капитала (Базель II), опубликованном Базельским комитетом в июне 2004 года, излагаются три подхода к оценке капитала, резервируемого под операционный риск:

подход базового индикатора (Basic Indicator Approach, BIA), согласно которому размер капитала, резервируемого под операционный риск, определяется пропорционально среднему валовому доходу банка за три последних года с коэффициентом a, значение которого установлено Базельским комитетом в размере 0,15;

стандартизированный подход (The Standardised Approach, TSA), основанный на величинах валового дохода по отдельным направлениям деятельности - бизнес-линиям (business lines, BL), для каждой из которых установлен свой коэффициент бета. По классификации Базельского комитета существует восемь стандартных бизнес-линий:

1. Corporate Finance - оказание банковских услуг корпоративным клиентам;

2. Trading & Sales - операции и сделки на рынке ценных бумаг и срочных финансовых инструментов;

3. Retail Banking - банковское обслуживание физических лиц;

4. Commercial Banking - банковское обслуживание юридических лиц;

5. Payment & Settlement - осуществление платежей и расчетов;

6. Agency Services & Custody - агентские услуги;

7. Asset Management - управление активами;

8. Retail Brokerage - брокерская деятельность.

Размер капитала, резервируемого под операционный риск, получается суммированием по всем бизнес-линиям;

"продвинутый" подход (Advanced Measurement Approaches, AMA) подразумевающий расчет капитала на покрытие операционных потерь с помощью разработанной банком методики, основанной на собранных им данных по операционным потерям. При этом капитал банка, резервируемый на покрытие непредвиденных потерь, должен рассчитываться по применяемой методике с уровнем доверия 99,9%.

Минимальная величина капитала, резервируемого под операционный риск (или, для краткости, - капитал под риском, Capital at Risk, CaR) должна равняться неожиданным потерям. Неожиданные потери представляют собой квантиль 99,9% функции распределения годовых агрегированных потерь S(x) за вычетом годовых ожидаемых потерь EL, являющихся математическим ожиданием величины агрегированных потерь. Распределение агрегированных потерь S(x) представляет собой комбинацию распределения частоты потерь и распределения величины однократной потери. Для числа событий, приводящих к потерям, обычно принимается распределение Пуассона (с интенсивностью, которая должна определяться, исходя из накопленных частот событий) либо отрицательное биномиальное распределение. Согласно другому определению капитал под риском является суммой неожиданных и ожидаемых потерь за год. В таком случае CaR просто равняется квантилю 99,9% полной функции распределения годовых потерь. Оценка капитала под операционным риском может выполняться для бизнес-линий и/или факторов риска.

"Рис. 2"

Проблема оценки капитала под операционным риском связана с необходимостью достоверно рассчитать 99,9% квантиль распределения агрегированных потерь и состоит в трудности точного описания функции распределения потерь в области хвоста распределения. Он содержит маловероятные события, приводящие к тяжелым или даже катастрофическим последствиям. Трудность аналитического получения выражения для квантиля распределения агрегированных потерь вызывает необходимость использования статистического моделирования (метода Монте-Карло) с очень большим числом испытаний.*(1)

Таблица 1. Убытки от страхования ущерба от землетрясений в Калифорнии в 1971-1993 гг.
Год	Убыток, $ млн	Год	Убыток, $ млн
1971	17.4	1983	2,9
1972	0	1984	5,0
1973	0.6	1985	1,3
1974	3.4	1986	9,3
1975	0	1987	22,8
1976	0	1988	11,5
1977	0,7	1989	129,8
1978	1,5	1990	47,0
1979	2,2	1991	17,2
1980	9,2	1992	12,8
1981	0,9	1993	3,2
1982	0	1994	2272,7

Обычно вид и параметры функции распределения потерь определяют на основе имеющихся данных по случаям операционных потерь методом максимального правдоподобия. Основную роль при этом играет тело распределения, содержащее наибольшее число данных. К чему это приводит с точки зрения описания хвоста распределения, иллюстрирует график функции распределения величины потерь (c.d.f., Cumulative Distribution Function) на рис. 1. На приведенном графике эмпирическая функция распределения данных (Empirical), собранных Базельским комитетом в рамках Loss Data Collection Exercise (2002 LDCE) для бизнес-линий N 1 (Corporate Finance) и N 3 (Retail Banking), сравнивается (в области хвоста) с двумя теоретическими распределениями - логнормальным (LogNormal) и Гумбеля (Gumbel), параметры которых были получены методом максимального правдоподобия. Из рис.1 видно, что обычные законы распределения операционных потерь с параметрами, найденными для массива эмпирических данных, хорошо описывая тело распределения, содержащее большую часть данных, недооценивают величину потерь в области хвоста. Иными словами, распределение операционных потерь относится к типу распределений с тяжелым хвостом (heavy tail). Это означает, что число событий с ущербом, превышающим некоторое пороговое значение, очень медленно убывает с ростом величины ущерба. При анализе распределения операционных потерь, имеющего тяжелый хвост, нельзя предсказать возможную величину ущерба на основе выборочного среднего. Например, рассматривая данные по убыткам от страхования ущерба от землетрясений в Калифорнии в период с 1971 по 1993 годы, для 1994 года можно было предположить какое угодно значение, только не то, которое имело место в действительности (табл. 1).

Поскольку предсказать максимальный размер ущерба мы не можем, для оценки квантиля 99,9% следует обратиться к теории. На языке математики это означает: необходимо найти аналитическое продолжение эмпирической функции распределения потерь. Область математики, изучающая "выбросы" наблюдений, получила название "теория экстремальных значений" (Extreme Value Theory, EVT). Наиболее важным выводом EVT с точки зрения нахождения высоких квантилей распределения потерь является теорема Балкемы - де Хаана*(2) и Пикэндса*(3) о сходимости функции распределения превышений порогового значения к обобщенному распределению Парето. Согласно данной теореме, условное распределение превышения потерями некоторого достаточно высокого порога u асимптотически описывается функцией:

     G(x) = 1 -  (1 + кси (x-u)  / бета)-1/кси,

                    кси не равно 0

носящей название обобщенного распределения Парето (Generalized Pareto Distribution, GPD).

В отличие от традиционных методов, теория экстремальных значений не требует предположений о природе оригинального распределения всех наблюдений, которая обычно неизвестна. В соответствии с выводами EVT, в зарубежной теории и практике оценки операционного риска получил развитие подход Peaks Over Threshold (POT), заключающийся в анализе данных операционных потерь, превышающих некоторое достаточно большое пороговое значение, с применением к этим данным обобщенного распределения Парето. В соответствии с методом POT, тело и хвост данных не обязательно должны описываться одним распределением или даже распределениями, относящимися к одному семейству. Часто их поведение настолько различно, что трудно определить традиционную модель, которая одновременно аккуратно описывала бы обе части данных.

Таблица 2. Оценка параметров GPD для данных восьми бизнес-линий из 2002 LDCE
Бизнес-линия	Число точек	ui, евро тыс.	кси	бета, евро тыс.	nu/n
Corporate Finance	423	400,28	1.19	774	0,09929
Trading & Sales | 5132 | 193,00 | 1.17 | 254 | 0,09977 |
Retail Banking	28 882	247,00	1.01	233	0,03462
Commercial Banking	3414	270,00	1.39	412	0,09227
Payment & Settlement | 1852 | 110,00 | 1.23 | 107 | 0,10097 |
Agency Services &| 1490 | 201,66 | 1.22 | 243 | 0,10604 | Custody
Asset Management	1109	235,00	0.85	314	0,09648
Retail Brokerage	3267	149,51	0.98	124	0,09979

Таблица 3. Сравнение оценок VAR И GPDMS, евро тыс.
Бизнес-линия	VaR99,9	GPDMS
Corporate Finance	154 523	260 415
Trading & Sales | 47 341 | 70 612 |
Retail Banking	8356	17 411
Commercial Banking	159 671	151 553
Payment & Settlement | 25 412 | 80 518 |
Agency Services & Custody | 58 930 | 51 805 |
Asset Management	17 825	79 423
Retail Brokerage	11 539	27 628

"Рис. 3"

В табл. 2 приведены оценки параметров GPD для данных восьми стандартных бизнес-линий из 2002 LDCE, а на рис. 2 показано сравнение с GPD эмпирического распределения данных 2002 LDCE для всех бизнес-линий в области хвоста. После того как параметры GPD оценены, можно рассчитать меру операционного риска. Наиболее популярной мерой риска является Value-at-Risk (VaR), который равен квантилю распределения потерь для нужного уровня доверия. Однако одной из наиболее серьезных проблем при использовании VaR для оценки операционного риска является то, что VaR, оценивая нижнюю границу потерь в хвосте распределения, но не завися от степени тяжести хвоста, имеет склонность к оптимизму в оценке уровня риска.

Этого недостатка VaR лишена мера Expected Shortfall (ES), которая оценивает потенциальный размер потерь, превышающих выбранный уровень. ES равен сумме математического ожидания превышения потерями данного уровня и самого порогового значения. Более устойчивый результат дает использование медианы превышений порогового значения вместо математического ожидания (мера GPDMS).

Сравнительная оценка значений VaR и GPDMS для уровня доверия 99,9% (в евро тыс.), рассчитанных для данных восьми бизнес-линий из 2002 LDCE, приведена в табл. 3. Как было сказано выше, распределение агрегированных операционных потерь представляет собой комбинацию распределения величины потерь и частоты событий, приводящих к потерям. Для второй составляющей распределения агрегированных потерь в методе POT используется представление событий превышения порога как точечного процесса - Point Process (PP). Процесс был описан как вероятностная модель М. Лидбеттером, Г. Линдгреном, Х. Ротсеном в монографии "Экстремумы случайных последовательностей и процессов", переведенной на русский язык (1983), и впоследствии - как статистический метод - Р.Л. Смитом*(4). Графическое представление точечного процесса дается двумерным графиком в кординатах "время - величина потерь" (рис. 3).

Модель точечного процесса в рамках метода POT аналитически связывает частоту событий превышения потерями заданного порога с величиной данного порога и параметрами обобщенного распределения Парето. Аналитическая связь величины потерь с их частотой сохраняется при повышении соответствующих уровней доверия. При "обычном" подходе - даже в предположении, что при анализе должны учитываться только большие потери и что выбранным законом распределения величины потерь является обобщенное распределение Парето, в то время как частота моделируется обычными моделями - значения высоких квантилей агрегированных потерь будут переоценены оттого, что большие потери будут привязаны к завышенным значениям частот событий, соответствующим области начала хвоста, где события более многочисленны. Для расчета капитала под риском в методе POT применяется подход Excess Claims Net Premium, при котором CaR получается перемножением среднегодовой частоты случаев превышения на меру риска, отражающую среднюю величину превышений соответствующего порога. В табл. 4 представлены результаты расчета капитала для стандартных бизнес-линий и в целом по данным 2002 LDCE, перечислены значения среднего валового дохода по каждой бизнес-линии за 1 год для банков, представивших данные. Также рассчитаны коэффициенты отношения капитала под операционным риском к валовому доходу, значения которых сравниваются со значениями коэффициентов бета, установленными Базельским комитетом в рамках стандартного подхода к оценке капитала, резервируемого под операционный риск. Соответствующий коэффициент для итоговых значений сравнивается со значением коэффициента a, установленного Базельским комитетом в рамках базового подхода. Из табл. 4 видно, что полученная оценка капитала под операционным риском в целом несколько ниже той, которая могла быть получена на основе базового подхода (13,3% вместо 15%), в то же время по отдельным бизнес-линиям наблюдается широкая вариация значений отношения капитала под риском к валовому доходу - от 8,3% для бизнес-линии N 3 (Retail Banking) до 33,3% для бизнес-линии N 5 (Payment & Settlement). Значения отношения капитала под риском к валовому доходу могут рассматриваться как показатель рискованности той или иной бизнес-линии. Преимущество метода POT в оценке высоких квантилей агрегированных потерь заключается в том, что:

метод POT учитывает соотношение между частотой и величиной больших потерь от установленного порога до любого сколь угодно большого уровня доверия;

метод POT делает возможным применение полупараметрического подхода для оценки самых высоких квантилей агрегированных потерь, снижая тем самым стоимость вычислений и ошибку, связанную с неаналитическим представлением агрегированных потерь.

Таблица 4. Оценка Параметров GPD для данных восьми бизнес-линий из 2002 LDCE
Бизнес-линия	Число банков, представивших данные	CaR (99.9%) (A)	Валовой доход (B)	Отношение CaR к ва- ловому доходу, % (A/B) 100%	Стандартные зна- чения коэффици- ентов бета, %
Corporate Finance	33	175 676	1 056 568	16,6	18
Trading & Sales | 67 | 218 423 | 1 723 483 | 12,7 | 18 |
Retail	80	298 218	3 580 369	8,3	12
Commercial Banking	73	257 633	1 829 454	14,1	15
Payment & Settlement| 55 | 100 052 | 300 153 | 33,3 | 18 |
Agency Services &| 40 | 78 886 | 375 638 | 21,0 | 15 | Custody
Asset Management	52	73 237	454 130	16,1	12
Retail Brokerage	41	122 788	632 445	19,4	12
Итого		1 324 912	9 952 241	13,3	15

Предложенный подход к оценке капитала банка, резервируемого под операционный риск, представляется ценным вне зависимости от решения регулирующего органа и сроков окончательного внедрения стандартов Базель II и Базель III в России. Данный метод позволяет достаточно просто рассчитать необходимый резерв капитала под операционный риск, для его применения требуются только статистика операционных потерь для конкретного банка и программная реализация методов EVT.

В настоящее время метод POT готовится к реализации в программном продукте ULTOR компании IIG, однако проблема его валидации и практического применения для российских банков видится в недостатке систематизированных данных по операционным потерям. Поэтому компания IIG призывает всех участников российского риск-сообщества к самому широкому взаимодействию.

И. Журавлев,

старший консультант практики управления рисками

Info Industries Group

"Риск-менеджмент", N 7-8, июль-август 2008 г.

-------------------------------------------------------------------------

*(1) Так, моделирование методом Монте-Карло, выполненное Lawrence (Citigroup) и представленное на 10-й Ежегодной конференции ICBI в Женеве в 2003 году, показало, что необходимо около 1 млн испытаний для расчета квантиля 99% агрегированных потерь, описываемых совместным распределением Пуассона и логнормальным законом. Большее число испытаний необходимо для оценки более высоких квантилей совместного распределения, полученного из компонент величины и частоты, имеющих высокие значения асимметрии и эксцесса.

*(2) Balkema A.A., de Haan L. Residual life time at great age, Annals of Probability, 2, pp. 792-804, 1974.

*(3) Pickands J. Statistical inference using extreme order statistics, Annals of Statistics, 3, pp. 119-131, 1975.

*(4) Smith R.L. Extreme Value Analysis of environmental time series: an application to trend detection in ground-level ozone, Statistical Science, 4, pp. 367-393, 1989.