Приложение А (справочное). Ортогональные полиномы

Приложение А
(справочное)

Ортогональные полиномы

А.1 Общие сведения

В данной части описаны различные совокупности полиномов, используемые при испытаниях оптических элементов двух наиболее распространенных форм (таблица А.1):

a) круглой (преобразуемой в эллиптическую);

b) квадратной (преобразуемой в прямоугольную).

Каждая совокупность обозначается комбинацией букв:

- форма площади: С (окружность/эллипс); S - (квадрат/прямоугольник);

- основополагающий базис: Р - (полярный); R - (прямоугольный);

- форма выражения: Z - (Цернике); Р - (полярная); R - (прямоугольная).

Примечания

1 В этом приложении термины "полиномиальный" и "функциональный" иногда взаимозаменяемы. Например, функция Цернике может быть получена путем умножения полинома Цернике на гармоническую функцию (cos или sin). Однако в декартовых координатах функции Цернике становятся полиномами от (х, у).

2 Ортогональные совокупности, описываемые в приложении, являются ортогональными на непрерывных поверхностях определенной формы (круглой или квадратной). При использовании этих совокупностей в дискретизованном виде, что, как правило, и встречается на практике, приводит к неортогональности этих функций. Задача пользователя состоит в том, чтобы определить, в какой степени эта неортогональность искажает результаты расчетов коэффициентов. Однако для низших порядков функции эти искажения столь незначительны, что практически не влияют на показания приборов при современных уровнях точности.

Внимание! Любая ортогональная совокупность должна быть применена с осторожностью. Применительно к вещественным (реальным) данным (например, при математической обработке аберраций) отдельные виды ортогональных функций не пригодны для анализа.

Причина, по которой ортогональные функции, описываемые в этом приложении, полезны для практического анализа, заключаются в форме нескольких первых членов (терминов), а именно "вздутие", "острие", "наклон", "рефракция", описывающих изменения в сопряжениях, а также в использовании ряда полезных аберраций нижнего порядка: "кома", "астигматизм", "сферическая аберрация".

Универсально используемая совокупность Цернике (А.3.1), так же как альтернативная совокупность (А.3.3), содержит эти полезные члены. Совокупности (ряды) Лежандра (А.З.2) не включают в себя все эти термины и члены (в частности, речь идет о рефракции). Однако в более высоких порядках все термины и члены становятся полезными и значимыми на практике. К числу редко упоминаемых компонентов относятся Z20, L17 или В29.

Таблица А.1 - Совокупность ортогональных множеств (рядов)

N п/п	Обозначение	Наименование	Поверхность	Симметрия	Координаты	Формат (см. примечание)	Примечание
Таблица А.2	С-Р-Р	Круглый/Цернике	Круг (эллипс)	Полярная	Полярные		Цернике (Z)
Таблица А.3	S-R-P	Квадратный/ Лежандр	Квадрат (прямоугольник)	Прямоугольная	Прямоугольные	= =	Лежандр (L)
Таблица А.4	S-P-Z	Квадратный/ полярный	Квадрат (прямоугольник)	Полярная	Полярные	Комбинация функций Цернике	Новое множество {В}
Таблица А.5	S-P-P	Квадратный/ полярный	Квадрат (прямоугольник)	Полярная	Полярные		Новое множество {В}
Примечание 1 - , - обозначение полиномов с переменной "r". Примечание 2 - n, m, р, q - неотрицательные целые. Примечание 3 - Дополнительная информация может быть получена на сайте http:// www.mboptique.com.

А.2 Вычисление коэффициентов

При выполнении аппроксимации множества ортогональных функций {, , ...} функцией f коэффициенты {, , ...} ортогональных функций вычисляются по формуле

,

где (u, v) - пространственные координаты; А - площадь интегрирования; dA - инкремент; - квадрат среднего квадратического значения полинома ().

Значения сведены далее в таблицу: однако, поскольку ортогональность рядов (множеств) по дискретным поверхностям выполняется не строго, рекомендуется выполнять вычисления по мере необходимости, не обязательно пользуясь таблицами.

А.3 Определения, таблицы и иллюстрации, относящиеся к ортогональным функциям

Примечание - .

А.3.1 Круглые поверхности: функции Цернике ("С-Р")

А.3.1.1 Общие сведения

Речь идет о классических полиномах Цернике, широко используемых в оптике. Это множество полиномов (рядов) ортогонально применительно к круглым поверхностям (преобразуемым в эллиптические).

Определения приведены в А.3.1.2. Значения приведены в таблице А.2, а изображения ортогональных множеств (Z0-Z35) - на рисунке А.1.

А.3.1.2 Определения

Обозначения:

(n + m) = N: порядок функции;

(n - m) 0: m не более n;

(n - m) - четное.

Определяемая область: круг с радиусом, равным 1.

Полиномы Цернике

.

Главный член

.

Квадрат среднего квадратического значения полинома

.

Функция Цернике (ортогональные ряды, используемые в оптике)

.

Примечание - Среднее квадратическое значение функций Цернике дополняется функциями косинуса и синуса. У этих функций (m > 0) средний квадрат величины является половиной соответствующего полинома Цернике. У вращательно-симметричных функций (m = 0) средние квадратичные величины равны соответствующим полиномам.

Таблица А.2 - Круг Цернике ("С-Р-Р")

Z	N	n, m	Формула
Z0	0	0, 0	1
Z1	2	1, 1	rcos	1/4
Z2	:	1, 1	rsin	1/4
Z3	0	2, 0	2 -1	1/3
Z4	4	2, 2	cos2	1/6
Z5	:	2, 2	sin2	1/6
Z6	:	3, 1	(3 - 2) rcos	1/8
Z7	:	3, 1	(3-2) rsin	1/8
Z8	4	4, 0	6 - 6 + 1	1/5
Z9	6	3, 3	cos3	1/8
Z10	:	3, 3	sin3	1/8
Z11	:	4, 2	(4 - 3) cos2	1/10
Z12	:	4, 2	(4 - 3) sin2	1/10
Z13	:	5, 1	(10 -12+ 3) rcos	1/12
Z14	:	5, 1	(10-12+ 3) rsin	1/12
Z15	6	6, 0	20 -30+ 12-1	1/7
Z16	8	4, 4	cos4	1/10
Z17	:	4, 4	sin4	1/10
Z18	:	5, 3	(5 - 4) cos3	1/12
Z19	:	5, 3	(5 - 4) sin3	1/12
Z20	:	6, 2	(15- 20 + 6)cos2	1/14
Z21	:	6, 2	(15- 20 + 6)sin2	1/14
Z22	:	7, 1	(35 - 60 + 30 - 4) rcos	1/16
Z23	:	7, 1	(35 - 60 + 30 - 4) rsin	1/16
Z24	8	8, 0	70 - 140 + 90- 20+1	1/9
Z25	10	5, 5	cos5	1/12
Z26	:	5, 5	sin5	1/12
Z27	:	6, 4	(6 - 5) cos4	1/14
Z28	:	6, 4	(6r2 - 5)sin4	1/14
Z29	:	7, 3	(21 - 30+ 10) cos3	1/16
Z30	:	7, 3	(21 - 30 + 10) sin3	1/16
Z31	:	8, 2	(56 - 105 + 60 - 10) cos2	1/18
Z32	:	8, 2	(56 - 105 + 60 - 10) sin2	1/18
Z33	:	9, 1	(126 - 280 + 210 - 60 + 5) rcos	1/20
Z34	:	9, 1	(126 - 280 + 210-60 + 5) rsin	1/20
Z35	10	10, 0	252 - 630 + 560 - 210 + 30 - 1	1/11
Z36	12	6, 6	cos6	1/14
Z37	:	6, 6	sin6	1/14
Z38	:	7, 5	(7 - 6) cos5	1/16
Z39	:	7, 5	(7 - 6) sin5	1/16
Z40	:	8, 4	(28 - 42+ 15) cos4	1/18
Z41	:	8, 4	(28 - 42 + 15) sin4	1/18
Z42	:	9, 3	(84 - 168 + 105 - 20) cоs3	1/20
Z43	:	9, 3	(84 - 168 + 105 - 20) sin3	1/20
Z44	:	10, 2	(210 - 504 + 420 - 140 + 15) cos2	1/22
Z45	:	10, 2	(210 - 504 + 420 - 140 + 15) sin2	1/22
Z46	:	11, 1	(462 - 1 260 + 1 260 - 560 + 105 - 6) rcos	1/24
Z47	:	11, 1	(462 - 1 260 + 1 260 - 560 + 105 - 6) rsin	1/24
Z48	12	12, 0	924 - 2 772 + 3 150 - 1 680 + 420 - 42 + 1	1/13

Рисунок А.1 - Изображение ортогонального множества Цернике (Z0-Z35)

А.3.2 Квадратные поверхности: функции Лежандра ("S-R")

А.3.2.1 Общие сведения

Существуют 10 полиномов Лежандра. Перемножая каждый из этих полиномов на х и у, получаем 20 полиномов (функций), ортогональных на квадратных поверхностях (преобразуемых в эллиптические).

Определения приведены в А.3.2.2. Значения приведены в таблице А.3, а изображения ортогональных множеств - на рисунке А.2.

А.3.2.2 Определения

Обозначения: (р, q) = N: порядок функции;

р, q - неотрицательные целые числа.

Определяемая область: центрированный квадрат со стороной длиной 2.

Полином Лежандра 10

.

Главный член .

1 D квадрат среднего квадратического значения полинома

.

2 D Полиномы Лежандра (ортогональные ряды, применямые в оптике

.

2 D средние квадратические значения полиномов

.

Таблица А.3 - Квадрат Лежандр ( "S-R-R")

Z	N	p, q	Формула
L0	0	0, 0	1	1
L1	1	1, 0	x	1/3
L2	1	0, 1	y	1/3
L3	2	2, 0	(3 - 1 )/2	1/5
L4	:	1, 1	ху	1/9
L5	2	0, 2	(3 - 1)/2	1/5
L6	3	3, 0	х(5 - 3)/2	1/7
L7	:	2, 1	у(3 - 1 )/2	1/15
L8	:	1, 2	х(3 - 1 )/2	1/15
L9	3	0, 3	у(5 - 3)/2	1/7
L10	4	4, 0	(35 - 30 + 3)/8	1/9
L11	:	3, 1	ху(5 - 3)/2	1/21
L12	:	2, 2	(3 -1 )(3 - 1 )/4	1/25
L13	:	1, 3	ху(5 - 3)/2	1/21
L14	4	0, 4	(35 - 30 + 3)/8	1/9
L15	5	5, 0	х(63 - 70+ 15)/8	1/11
L16	:	4, 1	y(35 - 30 + 3)/8	1/27
L17	:	3, 2	х(3 - 1 )(5 - 3)/4	1/35
L18	:	2, 3	у(5 - 3)(3 - 1 )/4	1/35
L19	:	1, 4	х(35 - 30 + 3)/8	1/27
L20	5	0, 5	y(63- 70 + 15)/8	1/11
L21	6	6, 0	(231 - 315 + 105 - 5)/16	1/13
L22	:	5, 1	ху(63 - 70 + 15)/8	1/33
L23	:	4,2	(3 - 1)(35 - 30 + 3)/16	1/45
L24	:	3, 3	ху(5 - 3)(5 - 3)/4	1/49
L25	:	2, 4	(35 - 30 + 3)(3 - 1)/16	1/45
L26	:	1, 5	ху(63 - 70 + 15)/8	1/33
L27	6	0, 6	(231 - 315 + 105 - 5)/16	1/13
L28	7	7, 0	х(429 - 693 + 315 - 35)/16	1/15
L29	:	6, 1	у(231 - 315 + 105 - 5)/16	1/39
L30	:	5, 2	х(3 - 1 )(63 - 70 + 15)/16	1/55
L31	:	4, 3	у(5 - 3)(35 - 30 + 3)/16	1/63
L32	:	3, 4	х(35 - 30 + 3)(5 - 3)/16	1/63
L33	:	2, 5	у(63 - 70 + 15)(3 - 1 )/16	1/55
L34	:	1, 6	х(231 - 315 + 105 - 5)/16	1/39
L35	7	0, 7	у(429 - 693 + 315 - 35)/16	1/15
L36	8	8, 0	(6435 - 12012 + 6930 - 1260 + 35)/128	1/17
L37	:	7, 1	xy(429 - 693 + 315 - 35)/16	1/45
L38	:	6, 2	(3 - 1 )(231 - 315 + 105 - 5)/32	1/65
L39	:	5, 3	ху(5 - 3)(63 - 70 + 15)/16	1/77
L40	:	4, 4	(35 - 30 + 3)35 - 30 + 3)/64	1/81
L41	:	3, 5	ху(63 - 70 + 15)(5 - 3)/16	1/77
L42	:	2, 6	(231 - 315 + 105 - 5)(3 - 1)/32	1/65
L43	:	1, 7	ху(429 - 693 + 315 - 35)/16	1/45
L44	:	0, 8	(6 435 - 12 012 + 6 930 - 1 260 + 35)/128	1/17

Рисунок А.2 - Изображение визуализированного множества Лежандра (2D), ортогонального множеству (L0 - L20)

А.3.3 Квадратные поверхности - "квадратно-радиальные функции" ("S-P")

А.3.3.1 Общие сведения

2D Лежандра функции имеют один недостаток: полиномы нижнего порядка не содержат полезных вращательно-симметричных полиномов, входящих в состав полиномов Цернике, в частности полиномов до Z8 (т.е. до 4-го порядка), включая наиболее желательный рефракционный член, т.е. ( + ).

Этот недостаток может быть компенсирован формированием полиномов с заметной вращательной симметрией.

Невращательная природа симметрии квадратной поверхности делает полиномы более сложными, от 6-го порядка и выше. Однако до 4-го порядка (в том числе) полиномы имеют ту же форму, что и полиномы Цернике, но с отличными коэффициентами.

Однако, как свидетельствуют графики, незаметная вращательная симметрия становится видимой даже при изображении функций высшего порядка.

В А.3.3.2 даны определения; значения приведены в таблицах А.4 и А.5. На рисунке А.3 изображены множества (В0-В35), альтернативные множествам Цернике для квадратных поверхностей.

ГАРАНТ:

Нумерация пунктов приводится в соответствии с источником

А.3.2.2 Определения

Обозначения: (n + m)= V: порядок функции;

(n - m) 0: m не более n;

(m - m) - четное.

Определяемая область: центрированный квадрат со стороной длиной . Формула полинома: неизвестна.

Главный член: функция Цернике с идентичным индексом.

- формула неизвестна.

Таблица А.4 - Квадрат - полярный ("S-P-Z")

B		N	n, m			Формула
В0		0	0, 0			Z00		1
В1		2	1, 1			Z01		1/6
В2		:	1, 1			Z02		1/6
B3		2	2, 0			Z03 + (+ Z00)/3		8/45
В4		4	2, 2			Z04		2/45
В5		:			2, 2	Z05		1/9
В6		:			3, 1	Z06 + (+3 Z01)/5		31/525
В7		:			3, 1	Z07 + (+ 3 Z02)/5		31/525
В8		4	4, 0			Z08 + (+ 75 Z03 + 32 Z00)/105		1072/11025
В9		6	3, 3			Z09 + (+ 13 Z06+ 14 Z01)/31		4/155
В10		:			3, 3	Z10 + (-13 Z07-14 Z02)/31		4/155
В11		:			4, 2	Z11 +(+9 Z04)/7		128/11025
В12		:			4, 2	Z12 + (+3 Z05)/5		32/525
В13		:			5, 1	Z13 + (+ 22 Z09 + 58 Z06 + 41 Z01)/63		7864/218295
В14		:			5, 1	Z14 + (+ 22 Z10 + 58 Z07 + 41 Z02)/63		7864/218295
В15		6	6, 0			Z15 + (+ 12495 Z08 + 8925 Z03 + 3071 Z00)/15477		15094528/232387155
В16		8	4,4			Z16 + (+ 120120 Z15 + 664605 Z08 + 980115 Z03 + 483218 Z00)/ 1768890		36224/4422225
В17		:			4, 4	Z17		8/525
В18		:			5, 3	Z18 + (+ 22323 Z13 + 64154 Z09 + 41522 Z06 + 34843 Z01)/41286		13744/1300509
В19		:			5, 3	Z19 + (- 22323 Z14 + 64154 Z10 - 41522 Z07 + 34843 Z02)/41286)		13744/1300509
В20		:			6, 2	Z20 + (+20 Z11 +21 Z04)/11		21584/3468465
В21		:			6, 2	Z21 +(+70 Z12 + 51 Z05)/105		15692/363825
В22		:	7, 1			Z22 + (+ 864087 Z18 + 2026506 Z13 + 1134773 Z09 + 1990834 Z06 + 1212261 Z01)/1842555		294122552/11856841425
В23			7, 1			Z23 + (- 864087 Z19 + 2026506 Z14 - 1134773 Z10 + 1990834 Z07 + 1212261 Z02)/1842555		294122552/11856841425
В24		8	8, 0			Z24 + (- 8612340 Z16 + 10975965 Z15 + 6568980 Z08 + 907020 Z03 - 639832 Z00)/12747735		445621440256/9761769292275
В25		10	5, 5			Z25 + (+ 343200 Z22 + 3801861 Z18 + 5694111 Z13 + 7868964 Z09 + 11684564 Z06 + 10254815 Z01)/13085961		3885824/82445543
В26		:	5, 5			Z26 + (+ 343200 Z23 - 3801861 Z19 + 5694111 Z14 - 7868964 Z10 + 11684564 Z07 + 10254815 Z02)/13085961		3885824/82445543
В27		:	6, 4			Z27 + (+ 9556747200 Z24 + 485309083350 Z16 + 104976214413 Z15 + 241581074175 Z08 + 278891981907 Z03 + 125767845785 Z00)/ 219329302626		6098940928/2302957677573
В28		:	6, 4			Z28 + (+5Z17)/3		128/14553
В29		:	7, 3			Z29 + (+ 10500525 Z25 + 18246063 Z22 + 58262733 Z18 + 44661096 Z13 + 72565827 Z09 + 59713349 Z06 + 43678682 Z01)/29553513		417760352/63392285385
В30		:	7, 3			Z30 + (- 10500525 Z26 - 18246063 Z23 + 58262733 Z19 - 44661096 Z14 + 72565827 Z10 - 59713349 Z07 - 43678682 Z02)/29553513		417760352/63392285385
В31		:			8, 2	Z31 + (+ 1192191 Z20 + 1560570 Z11 + 1327654 Z04)/578721		756525056/189927551385
В32		:			8, 2	Z32 + (+ 1226841 Z21 + 1021890 Z12 + 606094 Z05)/1682967		7459996672/227427745545
В33		:			9, 1	Z33+ (+ 1600891106100 Z29 - 1320930574362 Z25 +		296056766869279616/
						+ 39434253490140		16161414123795165225
						Z22 + 2010790258758 Z18 + 3869204991723 Z13 +
						1481222960892 Z09 + 2470347780452 Z06 + 957408066380 Z01)/3332356832805
В34		:	9, 1			Z34 + (- 1600891106100 Z30 - 1320930574362 Z26 + + 3943425349140 Z23 - 2010790258758 Z19 + 3869204991723 Z14 - 1481222960892 Z10 + 2470347780452 Z07 + 957408066380 Z02)/3332356832805		296056766869279616/ 16161414123795165225
В35		10	10, 0			Z35 + (- 1151734265220 Z27 + 737301274281 Z24 - 2706670044780 Z16 + 154349308575 Z15 - 816977558115 Z08 - 1259889678780		2092531250169856/ 61578454828177287
В36	12			6, 6		Z36 + (+ 379236 Z31 + 2216935 Z20 + 4808345 Z11 + 5491445 Z04)/ 2585779	133224/814520385
В37	:			6, 6		Z37 + (- 1189188 Z32 + 7465633 Z21 + 21831635 Z12 + 26931447 Z05)/ 50996071	4722176/1784862485
В38	:			7, 5		Z38 + (+ 114177559976480 Z33 + 2718028698156711 Z29 + 17511054853329675 Z25 + 4358940067034998 Z22 + 7869806791152003 Z18 + 12417760488627315 Z13 + 11575828368412182 Z09 + 18015128041522780 Z06 + 13756650017852507 Z01)/ 6938830473498741	813356273125888/ 381635676042430755
В39	:			7, 5		Z39 + (+ 114177559976480 Z34 - 2718028698156711 Z30 + 17511054853329675 Z26 + 4358940067034998 Z23 - 7869806791152003 Z19 + 12417760488627315 Z14 - 11575828368412182 Z10 + 18015128041522780 Z07 + 13756650017852507 Z02)/ 6938830473498741	813356273125888/ 381635676042430755
В40	:			8, 4		Z40 + (+ 68800652018384 Z35 + 6092045986115943 Z27 + 1209786609952206 Z24 + 9693088363923120 Z16 + 3548333026828534 Z15 + 5740888340735710 Z08 + 5637669480351546 Z03 + 2374752927284972 Z00)/2191640396296065	34372402627846144/ 22782101919497595675
В41	:			8, 4		Z41 + (+ 1309 Z28 + 1640 Z17)/715	1829888/289864575
В42	:			9, 3		Z42 + (+ 565343535204700 Z38 + 763706003264490 Z33 + 2565149624175160 Z29 + 1356073133541852 Z25 + 2185857300250140 Z22 + 3853159465260237 Z18 + 3642373821037512 Z13 + 3984711111787388 Z09 + 4033165203174388 Z06 + 2681526736697390 Z01)/11358393267728535	25268411269096448/ 5684875830276317675
В43	:			9, 3		Z43 + (- 565343535204700 Z38 - 763706003264490 Z34 + 2565149624175160 Z30 + 1356073133541852 Z26 - 2185857300250140 Z23 + 3853159465260237 Z19 + 3642373821037512 Z14 + 3984711111787388 Z10 - 4033165203174388 Z07 + 2681526736697390 Z02)/11358393267728535	25268411269096448/ 5684875830276317675
В44	:			10, 2		Z44 + (- 170318162 Z36 + 935684607 Z31 + 1286533983 Z20 + 1206708975 Z11 + 781291862 Z04)/420643223	3194409588224/ 1224032659110261
В45	:			10, 2		Z45 + (- 746613322 Z37 + 1087917831 Z32 + 863622851 Z21 + 383016235 Z12 + 6300234 Z05)/ 1412530119	106353538582784/ 4110331280988933
В46	:			11, 1		Z46 + (+ 54813211477350981655 Z42 - 80053597227333592698 Z38 + 138326565674454965535 Z33 + 56896102875766473374 Z29 - 211314952678042237854 Z25 + 115516375966780380240 Z22 + 2793334186377137523 Z18 + 8502393649491243987 Z13 - 61335810959613726368 Z09 - 99148881650057560237 Z06 - 103993993393227042614 Z01)/ 110971977638848086033	47871904279704287142288128/ 3375962315594514955514847915
В47	:			11, 1		Z47 + (- 54813211477350981655 Z43 - 80053597227333592698 Z39 + 138326565674454965535 Z34 - 56896102875766473374 Z30 - 211314952678042237854 Z26 + 115516375966780380240 Z23 - 2793334186377137523 Z19 + 8502393649491243987 Z14 + 61335810959613726368 Z10 - 99148881650057560237 Z07 - 103993993393227042614 Z02)/ 110971977638848086033	47871904279704287142288128/ 3375962315594514955514847915
В48	12			12, 0		Z48 + (- 80853710242804488990 Z40 39068803210909062591 Z35 - 29381305081911332434 Z27 - 6538623897041164656 Z24 - 354429442668777376320 Z16 - 10339007516526996032 Z15 - 192611588458927386735 Z08 - 194559707811599680053 Z03 - 82356423526294057232 Z00)/42548372864001121845	167558378013839536746496/ 6253121617957924871950425

Таблица А.5 - Квадрат - полярный ("S-P-P").

В	N		n, m	Формула
B0	0		0, 0	1	1
В1	2		1, 1	rcos	1/6
В2	:		1, 1	rsin	1/6
ВЗ	2		2, 0	2- 2/3	8/45
В4	4		2, 2	cos2	2/45
В5		:	2, 2	sin2	1/9
В6		:	3, 1	r(15 - 7)rcos/5	31/525
В7		:	3, 1	r(15 - 7)rsin/5	31/525
В8	4		4, 0	2(315 -240 + 31)/105	1072/11025
В9	6		3, 0	cos3 + 3r(13 - 4) cos/31	4/155
В10		:	3, 3	sin3 + 3r(4 - 13) sin/31	4/155
В11		:	4,2	4(7 - 3) cos2/7	128/11025
В12		:	4,2	4(5 - 3) sin2/5	32/525
В13		:	5, 1	22cos3/63 + 2r(105 - 97 + 19) cos/21	7864/218295
В14		:	5, 1	2r(105 - 97 + 19) sin/21 - 22 sin3/63	7864/218295
В15	6		6, 0	4(77385 - 97335 + 32151 - 2209)/15477	15094528/232387155
В16	8		4,4	cos + (1201200 + 192015 - 292980 + 23794)/884445	36224/4422225
В17	:		4,4	sin	8/525
В18	:		5, 3	5(20643 - 10099) cos3/20643 + r(37205 - 23885 + 3128) cos/6881	13744/1300509
В19	:		5, 3	5(20643 - 10099) sin3/20643 + r(37205 - 23885 + 3128) sin/6881	13744/1300509
В20		:	6,2	(165 - 140 + 27) cos2/11	21584/3468465
В21		:	6,2	(1575 - 1820 + 471) sin2/105	15692/363825
В22		:	7, 1	(864087 - 464315) cos3/368511 + r(64489425 - 90288240 + 36931080 - 4060109) cos/1842555	294122552/11856841425
В23	:		7, 1	(464315 - 8640887) sin3/368511 + r(64489425 - 90288240 + 36931080 - 4060109) sin/1842555	294122552/11856841425
В24	8		8, 0	2(446170725 - 782581800 + 428715540 - 80421480 + 3396949)/12747735 - 52196 cos4/77259	44562144256/ 9761769292275
В25	10		5, 5	cos5 + 5(1267287 - 489232) cos3/4361987 + 10r(1201200 + 3634911- 2297964 + 259522) cos/13085961	3885824/824415543
В26	:		5, 5	sin59 + 5 (489232 - 1267287) sin3/4361987 + 10r(1201200 + 3634911- 2297964 + 259522) sin/13085961	3885824/824415543
В27	:		6,4	2(15666378759 - 7277826545) cos4/5222126253 + 10(33448615200 + 38078984013 - 41984636967 + 8843857386 - 348126458)/109664651313	6098940928/ 2302957677573
В28	:		6,4	2(9 - 5) sin4/3
В29	:		7, 3	59325cos5/166969 + (206874591- 1984305775 + 45016675) cos3/9851171 + 5r(12772244 + 129630564+ 38117757 - 2949796) cos/29553513	128/14553 417760352/63392285385
В30	:		7, 3	- 59325sin5/166969 + (206874591 - 198430575 + 45016675) sin3/9851171 - 5r12772244 - 129630564 + 38117757 - 2949796) sin/29553513	417760352/63392285385
В31		:	8,2	8(4051047 - 5360355 + 2140215 - 248515) cos2/57821	756525056/189927551385
В32		:	8,2	8(11780769 - 19788615 + 10066095 - 1491025) sin2/1682967	7459996672/227427745545
В33		:	9,1	- 62901455922 cos5/158683658705 + 2(1120623774270 - 1265759396307 + 314899099562) cos3/222157122187 + 2r(41987696093343 - 79504002628050 + 50188146439788 - 12065806632342 + 851241028411) cos/666471366561	296056766869279616/ 16161414123795165225
В34	:		9, 1	- 62901455922sin5/158683658705 - 2( 1120623774270 - 1265759396307 + 314899099562) sin3/222157122187 + 2r(41987696093343 - 79504002628050 + 50188146439788 - 12065806632342 + 851241028411) sin/666471366561	296056766869279616/ 16161414123795165225
В35	10		10, 0	120(8477781337 - 19195571087) cos4/275101545433 + 4(51994192086837 - 117082707917175 + 90508851024900 - 29122300885860 + 3561847824345 - 102049507139)/825304636299	2092531250169856/ 61578454828177287
В36	12		6, 6	cos6 + 2(21237216 - 6565755 - 2351160 + 575660) cos2/2585779	1332224/814520385
В37			6, 6	sin6 - 3(22198176 + 78949745 - 44445800 - 6040740) sin2/50996071	4722176/1784862485
В38	:		7, 5	7(2312943491166247 - 1148663237507751) cos5/2312943491166247 + 21 (906009566052237 - 669711539507005 + 1155061672560) cos3/2312943491166247 + 10r(479545751901216 + 4019772851760351 - 3779383718025531+ 964993555783390 - 62839902252290) cos/2312943491166247	813356273125888/ 381635676042430755
В39	:		7, 5	7(2312943491166247 - 1148663237507751) sin5/2312943491166247 - 21(906009566052237/4 - 669711539507005 + 1155061672560) sin3/2312943491166247 + 10r(479545751901216 + 4019772851760351 - 3779383718025531 + 964993555783390 - 62839902252290) sin/2312943491166247	813356273125888/ 381635676042430755
В40	:		8, 4	4(5113827591357485 - 4624718393978256 + 1008955364815365) cos4/730546798765355 + 4(1444813692386064 + 3445054327089375 - 4989591643870260 + 1868999767616345 - 226808950021 + 5885393231202)/730546798765355	34372402627846144/ 22782101919497595675
В41	:		8, 4	4(5005 - 5544 + 1455) sin4/715	1829888/289864575
В42	:		9, 3	84(4282905568975 - 2203450299877) cos5/103258120611685 + 4(4770525172259847 - 6847643239135776 + 3078721895377128 - 424660852103633) cos3/227167865345707 + 12(1603782606855429 - 2288877923421705 + 1094176014681827 - 197593857188203 + 10290310146384) cos/227167865345707	25268411269096448/ 5684875830276317675
В43	:		9, 3	84(2203450299877 - 4282905568975) sin5/103258120611685 + 4(4770525172259847 - 6847643239135776 + 3078721895377128 - 424660852103633) sin3/227167865345707 - 12(1603782606855429 - 2288877923421705 + 1094176014681827 - 197593857188203 + 10290310146384) sin/227167865345707	25268411269096448/ 5684875830276317675
В44	:		10, 2	10(8833507683 - 15960584640 + 9772127967 - 2365281856 + 183317111) cos2/420643223 - 24331166 cos6/60091889	3194409588224/ 1224032659110261
В45	:		10, 2	10(9887710833 - 21699726048 + 16399520683 - 4940651296 + 478258737) sin2/470843373 - 8204542 sin6/15522309	106353538582784 4110331280988933
В46	:		11, 1	2(6404919778237126627 - 13342266204555598783/2) cos5/5284379887564194573 + 2(328879268864105889930 - 572414383414562069799 + 2901766484984338897155 - 42843739178176941130) cos3/15853139662692583719 + 2r(8544842278191302624541 - 203992574249945543790695 + 17522721099156418560030 - 6656947884605215965110 + 106974660364518248335 - 42843739178176941130 cos3/15853139662692583719+2r(8544842278191302624541 -203992574249945543790695-17522721099156418560030-6656947884605215965110+106974660364518248335-52742265078762233277)cos/36990659212949362011	47871904279704287142288128/ 3375962315594514955514847915
В47	:		11, 1	2(6404919778237126627 - 13342266204555598783) cos5/5284379887564194573 - 2(328879268864105889930 - 572414383414562069799 + 2901766484984338897155 - 42843739178176941130) sin3/15853139662692583719 + 2r(8544842278191302624541  - - 203992574249945543790695 + 17522721099156418560030 - 6656947884605215965110 + 106974660364518248335 - 52742265078762233277) sin/36990659212949362011	47871904279704287142288128/ 3375962315594514955514847915
В48	12		12, 0	4(98286741315842559146195 - 27024687792465506495352 + 27239081206484485713375 - 12688782692839396629360 + 2755856125599527193075 - 239581468251977734680 + 4980679189739031679)/42548372864001121845 - 24(4491872791266916055 - 4007079364496667744 + 833985259724777875) cos4/2026112993523862945	167558378013839536746496/ 6253121617957924871950425

Рисунок А.3 - Пример визуализированного альтернативного множества (В0-В35) для квадратных поверхностей на базе множества Цернике (Z0-Z35)