Приложение В (справочное). Пример построения диаграммы состояний

Приложение В
(справочное)

Пример
построения диаграммы состояний

В.1 Система с одним элементом

Применение марковских методов начинают с определения состояний системы. В качестве примера рассмотрена система с одним элементом. В простейшем случае диаграмма состояний включает только два состояния: работоспособное состояние с интенсивностью отказов и неработоспособное состояние с интенсивностью восстановлений (см. рисунок В.1).

0 - работоспособное состояние системы; 1 - неработоспособное состояние системы

Рисунок В.1 - Диаграмма состояний для восстанавливаемой системы, состоящей из одного элемента

Стрелка от состояния 0 к состоянию 1 означает появление отказа с вероятностью в течение периода времени (t, t + ) при условии, что система находилась в состоянии 0 в момент времени t; стрелка от состояния 1 к состоянию 0 - завершение восстановления системы с вероятностью в течение времени .

Систему, состоящую из одного элемента, можно изобразить, используя более чем два состояния (работоспособное и неработоспособное). Ухудшенное состояние, в котором система все еще является работоспособной, также может быть включено в диаграмму. На рисунке В.2 состоянием отказа системы является состояние 2 (при этом предполагается, что в этом состоянии восстановление невозможно).

0 - состояние полного функционирования системы; 1 - ухудшенное состояние системы; 2 - неработоспособное состояние системы (состояние поглощения)

Рисунок В.2 - Диаграмма состояний для системы, состоящей из одного элемента с использованием трех состояний

Если восстановление в состоянии 2 возможно, система может быть описана диаграммой, изображенной на рисунке В.3, на которой интенсивность восстановлений представляет собой интенсивность перехода из состояния 2 в состояние 1.

Рисунок В.3 - Диаграмма состояний, если возможно восстановление системы из состояния 2

Во многих случаях должен быть рассмотрен путь непосредственного перехода системы из состояния 0 в состояние 2. В этом случае в диаграмму состояний, изображенную на рисунке В.2, добавляют стрелку (рисунок В.4).

Рисунок В.4 - Диаграмма состояний системы, состоящей из одного элемента, с прямым переходом из состояния 0 в состояние 2

Диаграмма, представленная на рисунке В.1, может быть использована для определения оценки мгновенной готовности A(t) и асимптотической готовности. Для оценки вероятности безотказности работы R(t) необходима диаграмма состояний, представленная на рисунке В.5, в которой рассмотрена только интенсивность отказов , а состояние 1 является поглощающим состоянием.

Рисунок В.5 - Диаграмма состояний для анализа вероятности безотказной работы системы, состоящей из одного элемента

В.2 Система, состоящая из двух элементов

Так как каждый элемент может находиться в двух состояниях: 0 - работоспособном и 1 - неработоспособном, система может быть в четырех состояниях (0 0), (0 1), (1 0), (1 1). Если система, состоящая из двух элементов, является последовательной, то состояние (0 0) является ее единственным работоспособным состоянием, а (0 1), (1 0), (1 1) - неработоспособными состояниями. Если в системе с двумя элементами использован нагруженный или ненагруженный резерв, то состояния (0 0), (0 1), (1 0) являются работоспособными состояниями. В соответствии с этим может быть получено решение для системы с нагруженным резервом типа "1 из 2".

Диаграмма состояний системы (с нагруженным резервом типа "1 из 2") с невосстанавливаемыми элементами приведена на рисунке В.6.

Примечание - Обозначения состояний могут иметь следующий вид: (0 0), (0 1), (1 0), (1 1) для состояний 0, 1, 2, 3 соответственно.

Рисунок В.6 - Диаграмма состояний для системы состояний из двух невосстанавливаемых элементов типа "1 из 2"

Диаграмма состояний системы из двух восстанавливаемых элементов приведена на рисунке В.7. Дополнительные стрелки указывают на восстановление с интенсивностями (i = 1,2). Предполагается, что не существует ограничений ресурсов для восстановления системы (из состояния 3).

Рисунок В.7 - Диаграмма состояний системы, состоящей из двух восстанавливаемых элементов типа "1 из 2" без ограничения ресурсов для восстановления

Если отказ по общей причине одновременно вызван отказом обоих элементов восстанавливаемой системы типа "1 из 2", скорее всего время, необходимое для восстановления системы после такого отказа (возвращение системы из состояния 3 в состояние 0) отличается от времени, необходимого для восстановления системы после отказов отдельных элементов. Это следует учитывать, как показано на рисунке В.8, где и - интенсивности отказа по общей причине и его восстановления соответственно.

Рисунок В.8 - Диаграмма состояний системы, состоящей из двух восстанавливаемых элементов в нагруженном резерве типа "1 из 2", с общей причиной отказа элементов системы при наличии двух групп, осуществляющих восстановление элементов

В качестве примера рассмотрена система, состоящая из двух генераторов в нагруженном резерве, которые не включаются при низкой температуре. Когда система достигает состояния "оба генератора не включились", время восстановления зависит от того, находится ли каждый генератор в неработоспособном состоянии из-за механического отказа или оба генератора не включились вследствие общей причины, например воздействия низкой температуры. Поэтому необходимо рассмотреть состояние "оба генератора не включились по независимым причинам" отдельно от состояния "оба генератора не включились вследствие общей причины". Однако для пользователя системы может быть важно только то, что "оба генератора отказали" без учета причин этих отказов. Таким образом, из этих двух состояний формируют комбинированное состояние, используя которое можно анализировать безотказность, готовность, ремонтопригодность и безопасность системы.

В диаграмме состояний системы могут быть учтены стратегии технического обслуживания и ремонта, но при этом особое внимание следует уделить свойству отсутствия памяти модели. Предположим, что существует только одна группа ремонтных рабочих и стратегия технического обслуживания и ремонта является такой, что приоритет ремонта всегда принадлежит компоненту, который отказал раньше. В этом случае должен быть учтен порядок возникновения отказов. Такая диаграмма состояний приведена на рисунке В.9.

На рисунке В.9 состояния 3 и 4 имеют следующее значение:

- состояние 3 - два компонента отказали, первым отказал компонент 1;

- состояние 4 - два компонента отказали, первым отказал компонент 2.

Следует отметить, что в соответствии с диаграммой состояний, представленной на рисунке В.9, среднее время восстановления компонента, например компонента 1, в действительности превышает MTTR = . В силу свойства отсутствия памяти модели если в состоянии 1 возникает второй отказ, то время восстановления до второго отказа не учитывается после перехода в состояние 3, где снова начинается восстановление компонента 1. Для компенсации избыточного времени восстановления можно увеличить интенсивности оставшихся восстановлений. В случае, представленном на рисунке В.9, интенсивности восстановления в состояниях 3 и 4 с целью такой компенсации должны быть удвоены. В других случаях резервирования и при отсутствии мгновенного восстановления компенсация становится более сложной.

Рисунок В.9 - Диаграмма состояний при наличии только одной группы ремонта и с приоритетом восстановления по принципу "первым вошел/первым вышел"

В.3 Группировка в диаграмме состояний

Для облегчения вычислений следует строить диаграмму состояний с минимально возможным количеством состояний. Если предполагается, что элементы параллельного соединения независимы и имеют одну и ту же интенсивность отказов и одну и ту же интенсивность восстановлений , как показано на рисунке В.10 для системы "2 из 4", то диаграмма состояний может быть представлена с применением группировки элементов, как показано на рисунке В.11. Предполагается, что система, представленная на рисунке В.11, имеет неограниченные ресурсы для восстановления. Отказ системы возникает при отказе трех элементов, и дальнейшие отказы не рассматривают.

Рисунок В.10 - Блок-схема надежности восстанавливаемой системы типа "2 из 4"

Рисунок В.11 - Диаграмма состояний с группировкой элементов для вычисления показателей безотказности системы, представленной на рисунке В.10

На основе представленной выше диаграммы могут быть составлены и решены алгебраические уравнения (см. приложение А), позволяющие получить выражение для наработки до отказа системы MTTF_S0 при условии, что t = 0 и все четыре элемента работоспособны

.