Приложение А (справочное). Вычисление долгосрочного гидростатического усилия или долгосрочного гидростатического давления по методу наименьших квадратов

Приложение А
(справочное)

Вычисление долгосрочного гидростатического усилия или долгосрочного гидростатического давления по методу наименьших квадратов

А.1 Общие положения

А.1.1 Анализ основан на следующей зависимости:

,

(А.1)

где y - зависимая переменная;

а - отсекаемый отрезок на оси y;

b - наклон прямой;

х - независимая переменная.

А.2 Методика анализа данных

А.2.1 Используют анализ линейной функциональной зависимости для анализа n-го количества пар значений (х, y) для получения следующей информации:

- наклон прямой;

- отсекаемый отрезок на оси y;

- коэффициент корреляции;

- прогнозируемое среднее значение и нижние границы доверительного и прогнозируемого интервалов для среднего значения при доверительной вероятности 95 %.

А.3 Присваиваемые значения

А.3.1 Пусть независимая переменная х равна

,

(А.2)

где t - время, ч.

Зависимая переменная y равна

,

(А.3)

где V - значение внутреннего гидростатического давления, кПа, или значение напряжения в кольцевом направлении, Па.

А.4 Уравнения функциональной зависимости и метода расчета

А.4.1 Сумма квадратов и ее составляющие

А.4.1.1 Единичное значение независимой переменной х _i вычисляют по формуле

,

(А.4)

где t _i - время до разрушения i-го образца, ч.

Единичное значение зависимой переменной y _i вычисляют по формуле

,

(А.5)

где V _i - давление при разрушении i-го образца, кПа.

А.4.1.2 Среднеарифметическое значение вычисляют по формуле

,

(А.6)

где y _i - единичное значение зависимой переменной;

n - число наблюдений.

Среднеарифметическое значение вычисляют по формуле

,

(А.7)

где х _i - единичное значение независимой переменной;

n - число наблюдений.

А.4.1.3 Среднеарифметическое значение от суммы произведения S _xy вычисляют по формуле

,

(А.8)

где n - количество пар значений (V _i, t _i).

Примечание - i = *1, ..., n.

А.4.1.4 Если выполняется условие S _xy > 0, данные считаются непригодными для оценки материала, в противном случае рассчитывают также суммы квадратов S _xx и S _yy.

S _xx вычисляют по формуле

,

(А.9)

S _yy вычисляют по формуле

.

(А.10)

А.4.2 Корреляция результатов

А.4.2.1 Коэффициент корреляции r вычисляют по формулам:

,

(А.11)

.

(А.12)

А.4.2.2 Если коэффициент корреляции r меньше допустимого минимального значения, приведенного в таблице А.1, то следует отбросить данные как непригодные, в противном случае выполняют расчеты по А.3.

Таблица А.1 - Допустимые минимальные значения коэффициента корреляции r для приемлемых данных из n-го количества пар

n	(n - 2)	Допустимое минимальное значение r	n	(n - 2)	Допустимое минимальное значение r
3	1	0,9999	21	19	0,5487
4	2	0,9900	22	20	0,5386
5	3	0,9587	23	21	0,5252
6	4	0,9172	24	22	0,5145
7	5	0,8745	25	23	0,5043
8	6	0,8343	26	24	0,4952
9	7	0,7977	27	25	0,4869
10	8	0,7646	32	30	0,4487
11	9	0,7348	37	35	0,4182
12	10	0,7079	42	40	0,3932
13	11	0,6835	47	45	0,3721
14	12	0,6614	52	50	0,3541
15	13	0,6411	62	60	0,3248
16	14	0,6226	72	70	0,3017
17	15	0,6055	82	80	0,2830
18	16	0,5897	92	90	0,2673
19	17	0,5751	102	100	0,2540
20	18	0,5614

А.4.3 Функциональная зависимость

А.4.3.1 Для нахождения прямой функциональной зависимости а и b предположим, что

,

(А.13)

,

(A.14)

.

(A.15)

A.4.3.2 Поскольку y = lg V, a x = lg t, следовательно, V = 10 ^y, f = 10 ^х и упрощенное выражение V через t принимает вид

.

(А.16)

А.4.4 Расчет дисперсии

А.4.4.1 x _L вычисляют по формуле

,

(А.17)

где t _L - время до разрушения L образца, ч.

А.4.4.2 Расчет статистической последовательности для значений от i = 1 до i = n:

- наилучшее соотношение для достоверного х вычисляют по формуле

;

(А.18)

- наилучшее соответствие Y _i для достоверного y вычисляют по формуле

;

(А.19)

- дисперсию ошибок для достоверного х вычисляют по формуле

.

(А.20)

А.4.4.3 вычисляют по формуле

.

(А.21)

D вычисляют по формуле

.

(А.22)

B вычисляют по формуле

.

(А.23)

А.4.4.4 Дисперсию С от b вычисляют по формуле

.

(А.24)

А.4.4.5 Дисперсию A от а вычисляют по формуле

.

(А.25)

А.4.4.6 Дисперсию от прямой в точке x _L вычисляют по формуле

.

(А.26)

А.4.4.7 Дисперсию ошибок для y вычисляют по формуле

.

(А.27)

А.4.4.8 Общую дисперсию для будущих значений y _L для y в точке x _L вычисляют по формуле

.

(А.28)

А.4.4.9 Оценочное стандартное отклонение для y _L вычисляют по формуле

.

(А.29)

А.4.5 Расчеты и доверительные интервалы

А.4.5.1 Прогнозируемое значение y _L для y в точке х вычисляют по формуле

.

(А.30)

А.4.5.2 Нижнюю границу прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 95 % y _L0,95 для y _L вычисляют по формуле

,

(А.31)

где t _V - квантиль распределения Стьюдента для (n - 2) степеней свободы (см. таблицу А.2) для двухстороннего уровня значимости 0,05 (т.е. среднее значение  2,5 %).

Таблица А.2 - Квантили распределения Стьюдента t _V (двусторонний уровень значимости 0,05)

n	Степень свободы (n - 2)	t V	n	Степень свободы (n - 2)	t V
3	1	12,706	21	19	2,093
4	2	4,303	22	20	2,086
5	3	3,182	23	21	2,080
6	4	2,776	24	22	2,074
7	5	2,571	25	23	2,069
8	6	2,447	26	24	2,064
9	7	2,365	27	25	2,060
10	8	2,306	32	30	2,042
11	9	2,262	37	35	2,030
12	10	2,228	42	40	2,021
13	11	2,201	47	45	2,014
14	12	2,179	52	50	2,009
15	13	2,160	62	60	2,000
16	14	2,145	72	70	1,994
17	15	2,131	82	80	1,990
18	16	2,120	92	90	1,987
19	17	2,110	102	100	1,984
20	18	2,101

А.4.5.3 Соответствующую нижнюю границу прогнозируемого интервала при доверительной вероятности 95 % для V вычисляют по формуле

.

(А.32)

А.4.5.4 Прогнозируемое среднее значение V в момент времени t _L, т.е. V _L, вычисляют по формуле

.

(А.33)

А.4.5.5 Допущение в уравнении (А.28),  =  даст скорее доверительный интервал для прямой, а не прогнозируемый интервал для будущих результатов наблюдений.